électromagnétisme (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Charger un condensateur coûte le double : la moitié perdue, et comment l'éviter

Le condensateur · E. Le condensateur en régime variable · niveau 2

Énoncé

Un condensateur de capacité $C = 1, 0 μ F$ , initialement déchargé, est relié à l'instant $t = 0$ à un générateur idéal de tension $E = 10 V$ à travers une résistance $R$ .

1) Que valent $u (0^{+})$ et $i (0^{+})$ ? Justifier.

2) Établir $u (t)$ et $i (t)$ . Calculer l'énergie fournie par le générateur, l'énergie finalement stockée, et l'énergie dissipée dans $R$ . Dépend-elle de $R$ ?

3) Partage de charge. Un condensateur $C_{1}$ chargé sous $U_{0}$ est relié, armatures de même signe ensemble, à un condensateur $C_{2}$ initialement déchargé, par des fils de résistance quelconque. Déterminer la tension finale et l'énergie perdue. La charge se conserve-t-elle ? L'énergie ?

4) Charger par paliers. On remplace le générateur fixe par un générateur dont on augmente la tension par $N$ paliers égaux de $E / N$ , en attendant à chaque palier que le condensateur soit chargé. Calculer l'énergie dissipée. Application pour $N = 10$ . Quelle est la limite $N \to \infty$ ?

Corrigé

La stratégie. Écrire la loi des mailles, puis la multiplier par le courant : la puissance du générateur se répartit entre la résistance et le stockage. L'intégration donne un résultat indépendant de $R$ , que les paliers permettent de contourner.

1) La tension est continue. L'énergie $\frac{1}{2} C u^{2}$ ne peut pas varier instantanément (il faudrait une puissance infinie) : $u (0^{+}) = u (0^{-}) = 0$ . La loi des mailles $E = R i + u$ donne $i (0^{+}) = E / R$ : le courant, lui, saute.

2) La moitié perdue. $E = R C \frac{d u}{d t} + u$ , avec $u (0) = 0$ : $u = E (1 - e^{- t / τ})$ , $i = \frac{E}{R} e^{- t / τ}$ , $τ = R C$ . Le générateur débite la charge finale $Q = C E$ sous la tension constante $E$ : il fournit $W_{g} = E Q = C E^{2}$ . Le condensateur stocke $\frac{1}{2} C E^{2}$ . La résistance dissipe $W_{J} = \int_{0}^{\infty} R i^{2} d t = \frac{E ^{2}}{R} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t / τ} d t = \frac{E ^{2}}{R} \frac{R C}{2} = \frac{1}{2} C E^{2},$ indépendamment de $R$ . Une petite résistance dissipe un courant intense pendant peu de temps, une grande un courant faible longtemps : le produit est le même. Ici : $W_{g} = 100 μ J$ , $50 μ J$ stockés, $50 μ J$ dissipés. Le rendement d'une charge brutale est de $50 %$ , quoi qu'on fasse sur $R$ .

3) Le partage de charge. Les deux armatures reliées forment un conducteur isolé : la charge $C_{1} U_{0}$ se conserve et se répartit sous une tension commune, $U_{f} = \frac{C _{1}}{C _{1} + C _{2}} U_{0}$ . Énergies : $W_{i} = \frac{1}{2} C_{1} U_{0}^{2}, W_{f} = \frac{1}{2} (C_{1} + C_{2}) U_{f}^{2} = \frac{1}{2} \frac{C _{1}^{2} U _{0}^{2}}{C _{1} + C _{2}}, W_{i} - W_{f} = \frac{1}{2} \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}} U_{0}^{2} > 0.$ La charge se conserve, l'énergie non : la différence est dissipée dans les fils (effet Joule, et un peu de rayonnement), quelle que soit leur résistance. Pour $C_{1} = C_{2}$ , la moitié de l'énergie disparaît.

4) Les paliers. À chaque palier, le condensateur passe de $k E / N$ à $(k + 1) E / N$ sous une tension de générateur égale à $(k + 1) E / N$ : c'est la question 2 avec un saut $E / N$ , et la dissipation vaut $\frac{1}{2} C (E / N)^{2}$ . Sur $N$ paliers : $W_{J} = N \times \frac{1}{2} C (\frac{E}{N})^{2} = \frac{1}{N} \frac{1}{2} C E^{2} .$ Pour $N = 10$ : $5 μ J$ au lieu de $50$ . Quand $N \to \infty$ , la charge devient réversible et la dissipation tend vers zéro : l'écart de tension aux bornes de $R$ reste toujours petit. C'est le principe de la « charge adiabatique » des circuits électroniques basse consommation, où l'on alimente les capacités par des rampes de tension plutôt que par des fronts.

Ce que l'exercice installe. La continuité de la tension aux bornes d'un condensateur, conséquence de l'énergie $\frac{1}{2} C u^{2}$ ; le bilan de puissance d'un circuit RC, et la moitié perdue, indépendante de $R$ ; la conservation de la charge ne garantit pas celle de l'énergie ; une dissipation se réduit en réduisant l'écart de tension aux bornes de la résistance, pas la résistance.

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