électromagnétisme (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Glisser un diélectrique : à charge constante ou à tension constante ?

Le condensateur · D. Énergie emmagasinée · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un condensateur plan à air a des armatures carrées de côté $L = 10 cm$ , distantes de $e = 0, 20 mm$ . On y glisse, parallèlement aux armatures, une plaque de mica d'épaisseur $e$ (elle remplit l'entrefer), de permittivité relative $ε_{r} = 6, 0$ , sur une longueur $x$ comprise entre $0$ et $L$ . Les frottements sont négligés. On note $C_{0}$ la capacité à vide.

1) Exprimer la capacité $C (x)$ en considérant deux condensateurs en parallèle. Calculer $C_{0}$ .

2) À charge constante. Le condensateur, chargé sous $U_{0} = 100 V$ , est isolé, puis la plaque est entièrement engagée. Comment varient $C$ , $U$ , $E$ et l'énergie stockée ? Où est passée l'énergie perdue ?

3) À tension constante. Même opération, le condensateur restant relié au générateur $U_{0}$ . Comment varient $Q$ , $E$ et l'énergie stockée ? Faire le bilan : énergie fournie par le générateur, énergie stockée, travail reçu par la plaque.

4) Pour une position $x$ quelconque, établir par un bilan d'énergie sur un petit déplacement $d x$ la force électrique exercée sur la plaque, dans les deux cas. Montrer qu'elle s'écrit $F = \frac{1}{2} U^{2} \frac{d C}{d x}$ et préciser son sens. Calculer sa valeur sous $100 V$ .

Corrigé

La stratégie. Dire d'abord ce qui est fixé (la charge si le condensateur est isolé, la tension s'il est relié à un générateur), puis faire le bilan de tous les échanges : générateur, énergie stockée, travail mécanique.

1) Deux condensateurs en parallèle. La partie remplie (aire $Lx$ ) et la partie vide (aire $L (L - x)$ ) sont sous la même tension : elles sont en parallèle, leurs capacités s'ajoutent : $C (x) = \frac{ε _{0} L}{e} [ε_{r} x + (L - x)] = C_{0} [1 + (ε_{r} - 1) \frac{x}{L}],$ $C_{0} = \frac{ε _{0} L ^{2}}{e} = \frac{8 , 85 \times 1 0 ^{- 12} \times 1 0 ^{- 2}}{2 , 0 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 0, 44 nF .$

2) À charge constante, tout baisse. $Q = C_{0} U_{0}$ reste fixé. La plaque engagée, $C = 6 C_{0}$ , donc $U = Q / C = U_{0} /6$ , $E = U / e$ est divisé par $6$ , et l'énergie $\frac{Q ^{2}}{2 C}$ aussi : de $W_{0} = \frac{1}{2} C_{0} U_{0}^{2} \approx 2, 2 μ J$ à $0, 37 μ J$ . Aucun générateur n'est branché : les $1, 8 μ J$ perdus ont été reçus par la plaque sous forme de travail de la force électrique, qui l'a attirée dans l'entrefer (si l'opérateur la retient, c'est lui qui les reçoit ; s'il la lâche, elle prend de l'énergie cinétique).

3) À tension constante, tout monte. $U_{0}$ est fixée : $Q$ passe à $6 Q_{0}$ , $E = U_{0} / e$ ne change pas, l'énergie passe à $6 W_{0}$ , soit $+ 5 W_{0}$ . Le générateur a débité $Δ Q = 5 Q_{0}$ sous $U_{0}$ : il a fourni $U_{0} Δ Q = 5 C_{0} U_{0}^{2} = 10 W_{0}$ . Bilan : sur ces $10 W_{0} \approx 22 μ J$ , $5 W_{0}$ sont stockés et $5 W_{0} \approx 11 μ J$ sont reçus par la plaque. La conclusion est inverse de la précédente pour l'énergie stockée, mais dans les deux cas la plaque est aspirée.

4) La force. À charge constante : pas de générateur ; le travail $F d x$ reçu par la plaque est pris sur l'énergie stockée : $F d x = - d (\frac{Q ^{2}}{2 C}) = \frac{Q ^{2}}{2 C ^{2}} d C$ , soit $F = \frac{1}{2} U^{2} \frac{d C}{d x}$ . À tension constante : le générateur fournit $U d Q = U^{2} d C$ , l'énergie stockée croît de $\frac{1}{2} U^{2} d C$ , et la plaque reçoit le reste : $F d x = \frac{1}{2} U^{2} d C$ . La même expression, ce qui est rassurant : la force à un instant donné ne dépend que de l'état du système (charges et champ), pas de ce qui est branché. Avec $\frac{d C}{d x} = \frac{ε _{0} L ( ε _{r} - 1 )}{e} > 0$ , $F > 0$ : la plaque est attirée vers l'intérieur. Sous $100 V$ : $F = \frac{1}{2} \times 10 0^{2} \times \frac{8 , 85 \times 1 0 ^{- 12} \times 0 , 10 \times 5 , 0}{2 , 0 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 1, 1 \times 1 0^{- 4} N .$ Un dixième de millinewton : les forces électrostatiques sont faibles à l'échelle humaine, parce que le claquage plafonne le champ. Elles dominent en revanche à l'échelle du micromètre (problème de ce TD).

Ce que l'exercice installe. Un bilan d'énergie commence par ce qui est maintenu constant ; un générateur fournit $U d Q$ , dont la moitié seulement va au stockage ; la force se déduit du bilan, et son expression $\frac{1}{2} U^{2} d C / d x$ ne dépend pas du montage. Un diélectrique est attiré vers les régions de champ intense.

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