électromagnétisme (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

La Terre et l'ionosphère : un condensateur sphérique

Le condensateur · A. Influence électrostatique et capacité · niveau 2

Énoncé

La surface de la Terre (sphère de rayon $R_{1} = 6371 km$ ) et la base de l'ionosphère (sphère concentrique de rayon $R_{2} = R_{1} + h$ , avec $h = 60 km$ , donnée de l'énoncé) sont deux bons conducteurs séparés par l'air, assimilé ici au vide. On modélise la Terre par une distribution sphérique de charge totale $- Q$ et l'ionosphère par une distribution sphérique concentrique de charge $+ Q$ ( $Q > 0$ ).

1) Pourquoi deux conducteurs en influence totale portent-ils des charges opposées ? Le dire qualitativement, en termes de lignes de champ.

2) Établir, par les symétries et le théorème de Gauss, le champ entre les deux sphères, et montrer qu'il est nul à l'extérieur de l'ensemble. En déduire la tension $U = V (R_{2}) - V (R_{1})$ et la capacité $C$ de ce condensateur sphérique.

3) Cas limite. Montrer que, pour $h ≪ R_{1}$ , on retrouve la capacité d'un condensateur plan dont on précisera l'aire. Calculer les deux valeurs : quel est l'écart relatif ?

4) On mesure entre le sol et l'ionosphère une tension d'environ $U = 240 kV$ . Calculer $Q$ et l'énergie $W$ stockée.

5) Calculer l'énergie du champ $∭ \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} d τ$ entre les deux sphères, et montrer qu'elle vaut exactement $\frac{1}{2} Q^{2} / C$ . Que démontre cette égalité ?

6) Confronter le modèle à la mesure. Quel champ le modèle prévoit-il au sol ? On y mesure en réalité $120 V m^{- 1}$ , dirigé vers le bas, décroissant avec l'altitude sur quelques kilomètres. Quelle hypothèse du modèle est en défaut ? La charge réelle de la Terre est-elle plus grande ou plus petite que $Q$ ?

Corrigé

La stratégie. Le schéma de tout calcul de capacité : symétries, Gauss entre les armatures, circulation de l'une à l'autre, $C = Q / U$ . Puis deux vérifications : le cas limite plan, et le calcul de l'énergie par la densité $u_{e}$ .

1) L'influence totale. La Terre est entièrement entourée par l'ionosphère : toutes les lignes de champ qui aboutissent à la Terre partent de l'ionosphère, aucune ne vient de l'infini. Le flux qui entre dans la Terre est fourni tout entier par la face intérieure de l'ionosphère ; les deux charges qui se font face sont donc égales et opposées. C'est la condition qui fait de deux conducteurs un condensateur.

2) Le champ et la capacité. Symétries : la distribution est invariante par toute rotation autour du centre $O$ ; tout plan passant par $O$ et par le point $M$ est plan de symétrie : $E = E (r) u_{r}$ , radial. Gauss sur une sphère de rayon $r$ , pour $R_{1} < r < R_{2}$ : elle n'enferme que la Terre, $E (r) 4 π r^{2} = - Q / ε_{0}$ , d'où $E = - \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}} u_{r},$ dirigé vers la Terre. Pour $r > R_{2}$ , la sphère enferme $- Q + Q = 0$ : $E = 0$ . Par circulation de la Terre vers l'ionosphère, $V (R_{1}) - V (R_{2}) = \int_{R_{1}}^{R_{2}} E_{r} d r = - \frac{Q}{4 π ε _{0}} (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}),$ $U = V (R_{2}) - V (R_{1}) = \frac{Q}{4 π ε _{0}} \frac{R _{2} - R _{1}}{R _{1} R _{2}},$ $C = \frac{Q}{U} = 4 π ε_{0} \frac{R _{1} R _{2}}{R _{2} - R _{1}} .$

3) La limite plane. Pour $h = R_{2} - R_{1} ≪ R_{1}$ , $R_{1} R_{2} ≃ R_{1}^{2}$ et $C ≃ \frac{ε _{0} 4 π R _{1}^{2}}{h}$ : la capacité d'un condensateur plan d'aire $4 π R_{1}^{2}$ , la surface de la Terre, et d'épaisseur $h$ . Numériquement : $C = 4 π \times 8, 85 \times 1 0^{- 12} \times \frac{6 , 371 \times 1 0 ^{6} \times 6 , 431 \times 1 0 ^{6}}{6 , 0 \times 1 0 ^{4}} \approx 7, 6 \times 1 0^{- 2} F, C_{plan} \approx 7, 5 \times 1 0^{- 2} F,$ soit $0, 9 %$ d'écart, l'ordre de $h / R_{1} = 0, 94 %$ . Soixante-seize millifarads : la Terre entière est un condensateur de capacité modeste, parce que ses armatures sont distantes de $60 km$ .

4) Charge et énergie. $Q = C U \approx 7, 6 \times 1 0^{- 2} \times 2, 4 \times 1 0^{5} \approx 1, 8 \times 1 0^{4} C$ et $W = \frac{1}{2} C U^{2} \approx \frac{1}{2} \times 7, 6 \times 1 0^{- 2} \times (2, 4 \times 1 0^{5})^{2} \approx 2, 2 \times 1 0^{9} J,$ environ $0, 6 MWh$ : l'énergie qu'un réacteur nucléaire produit en deux secondes.

5) L'énergie est dans le champ. Le volume compris entre $r$ et $r + d r$ vaut $4 π r^{2} d r$ : $∭ \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} d τ = \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{1}{2} ε_{0} \frac{Q ^{2}}{16 π ^{2} ε _{0}^{2} r ^{4}} 4 π r^{2} d r = \frac{Q ^{2}}{8 π ε _{0}} (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{1}{2} \frac{Q ^{2}}{C} .$ L'égalité est exacte, alors que le champ n'est pas uniforme. Le cours a établi $u_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ sur le condensateur plan et en a affirmé la généralité : on la vérifie ici sur une géométrie où le champ varie en $1/ r^{2}$ .

6) Ce que le modèle oublie. Le modèle donne au sol $E (R_{1}) = \frac{Q}{4 π ε _{0} R _{1}^{2}} \approx \frac{U}{h} = 4 V m^{- 1}$ , trente fois moins que les $120 V m^{- 1}$ mesurés. L'hypothèse fautive : « l'air est assimilé au vide ». L'air porte une charge d'espace positive, concentrée dans les premiers kilomètres ; elle reçoit la plupart des lignes de champ issues du sol, qui n'ont pas à monter jusqu'à l'ionosphère. Le sol porte donc une charge bien plus grande, $4 π ε_{0} R_{1}^{2} \times 120 \approx 5, 4 \times 1 0^{5} C$ , et le champ décroît rapidement avec l'altitude. La tension totale, elle, est fixée par le circuit global : le modèle du condensateur à vide donne le bon ordre de grandeur de l'énergie, pas la répartition du champ.

Ce que l'exercice installe. Le schéma symétries → Gauss entre les armatures → circulation → $C = Q / U$ sur une géométrie qui n'est pas plane ; le cas limite qui retrouve le condensateur plan ; la vérification de $u_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ dans un champ non uniforme ; et un réflexe critique : un modèle qui donne la bonne énergie peut se tromper sur la répartition du champ.

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