électromagnétisme (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Le défibrillateur : 200 J dans un film enroulé

Le condensateur · C. Rôle des isolants : les diélectriques · niveau 2

Énoncé

Un défibrillateur externe stocke son énergie dans un condensateur de capacité $C = 150 μ F$ , chargé sous $U = 1, 7 kV$ (données de l'énoncé, ordres de grandeur usuels). Ce condensateur est réalisé à partir de deux longs rubans métallisés (les armatures), séparés par un film de polypropylène d'épaisseur $e = 5, 0 μ m$ , de permittivité relative $ε_{r} = 2, 2$ et de rigidité diélectrique $650 V μ m^{- 1}$ ; l'ensemble est enroulé en cylindre, avec un second film isolant.

1) Calculer l'énergie stockée.

2) Quelle aire $S$ d'armatures en regard faut-il, en modèle plan ? Montrer que l'enroulement permet de diviser par deux la surface des rubans : quelle longueur de ruban de $5 cm$ de large faut-il ?

3) Calculer le champ dans le film et le comparer à sa rigidité. Que se passerait-il avec un film d'air de même épaisseur et de même capacité ?

4) Calculer la densité volumique d'énergie dans le film et le volume de film nécessaire. Une batterie lithium-ion stocke environ $2, 5 kJ c m^{- 3}$ (donnée de l'énoncé) : comparer.

5) Le condensateur se décharge à travers le thorax du patient, modélisé par une résistance $R = 50 Ω$ . Calculer la constante de temps, le courant initial et la puissance initiale. Conclure : pourquoi un condensateur, et pas directement une batterie ?

Corrigé

La stratégie. La capacité d'un condensateur plan fixe sa surface ; la rigidité de l'isolant fixe son épaisseur minimale ; la densité d'énergie fixe son volume. Puis une comparaison qui dit à quoi sert un condensateur.

1) L'énergie. $W = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} \times 150 \times 1 0^{- 6} \times (1, 7 \times 1 0^{3})^{2} \approx 2, 2 \times 1 0^{2} J$ , les quelque $200 J$ d'un choc de défibrillation.

2) La surface. $C = \frac{ε _{0} ε _{r} S}{e}$ donne $S = \frac{C e}{ε _{0} ε _{r}} = \frac{150 \times 1 0 ^{- 6} \times 5 , 0 \times 1 0 ^{- 6}}{8 , 85 \times 1 0 ^{- 12} \times 2 , 2} \approx 38 m^{2} .$ Une surface de salle de classe. Dans un empilement plan, chaque armature n'a qu'une face en regard de l'autre. Dans l'enroulement, chaque ruban est encadré, à chaque tour, par le ruban opposé des deux côtés (le second film sépare la face extérieure de l'armature 2 de l'armature 1 du tour suivant) : chaque face sert, et la surface de ruban nécessaire est divisée par deux, $19 m^{2}$ , soit un ruban de $19/0, 05 \approx 3, 8 \times 1 0^{2} m$ de long. Enroulé, il tient dans une boîte de la taille d'une canette.

3) Le champ et la tenue. $E = \frac{U}{e} = \frac{1 , 7 \times 1 0 ^{3}}{5 , 0 \times 1 0 ^{- 6}} = 3, 4 \times 1 0^{8} V m^{- 1} = 340 V μ m^{- 1}$ , environ la moitié de la rigidité du polypropylène : le film tient, avec une marge de sécurité d'un facteur deux. Avec de l'air, il faudrait d'abord une surface $2, 2$ fois plus grande pour la même capacité ; surtout, l'air claque à $3 V μ m^{- 1}$ , cent fois moins que le champ demandé : il faudrait une épaisseur cent fois plus grande, donc une surface encore cent fois plus grande. C'est la rigidité de l'isolant, plus encore que sa permittivité, qui rend l'objet possible.

4) La densité d'énergie. Dans le film, $u_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2} = \frac{1}{2} \times 8, 85 \times 1 0^{- 12} \times 2, 2 \times (3, 4 \times 1 0^{8})^{2} \approx 1, 1 \times 1 0^{6} J m^{- 3} = 1, 1 J c m^{- 3} .$ Le volume de film vaut $W / u_{e} \approx 1, 9 \times 1 0^{2} c m^{3}$ — c'est bien $S e = 38 \times 5 \times 1 0^{- 6} m^{3}$ , cohérence de la densité d'énergie. La batterie stocke environ deux mille fois plus par unité de volume.

5) La décharge. $τ = R C = 50 \times 150 \times 1 0^{- 6} = 7, 5 ms$ ; $I_{0} = U / R = 34 A$ ; $P_{0} = U^{2} / R \approx 58 kW$ . Une batterie ne sait pas fournir $34 A$ sous $1, 7 kV$ pendant quelques millisecondes ; en revanche, elle charge tranquillement le condensateur en quelques secondes. Le condensateur stocke peu, mais rend vite : il convertit une puissance modeste pendant longtemps en une puissance énorme pendant un instant (flash, laser pulsé, électrovanne).

Ce que l'exercice installe. Lire $C = ε_{0} ε_{r} S / e$ comme une règle de dimensionnement ; l'isolant intervient deux fois — sa permittivité multiplie la capacité, sa rigidité borne le champ ; la densité $u_{e}$ donne le volume ; un ordre de grandeur (deux mille fois moins qu'une batterie) dit à quoi sert l'objet.

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