Le film d'air qui fait claquer un condensateur

La stratégie. Deux couches parallèles aux armatures portent la même densité de charge à leurs limites : c'est une association en série. Le champ se répartit en raison inverse des permittivités, et la tension se reporte sur la couche la plus faible.

1) Deux condensateurs en série. Le plan de séparation air-verre est une surface équipotentielle (le champ lui est normal) ; on peut y imaginer une armature intermédiaire de charge nette nulle sans rien changer. Les deux couches portent la même charge $Q$ : elles sont en série, $\frac{1}{C}=\frac{e_1}{{\epsilon }_{0}S}+\frac{e_2}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}$, soit par unité d'aire $$\frac{C}{S}=\frac{{\epsilon }_0}{e_1+e_2/{\epsilon }_r}=\frac{8,85\times 10^{-12}}{1,0\times 10^{-4}+2,71\times 10^{-4}}\approx 2,4\times 10^{-8}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-2},$$ contre $\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}{2,0\times 10^{-3}}\approx 3,1\times 10^{-8}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-2}$ sans défaut : le film de $0,1\mathrm{mm}$ fait perdre $23\%$ de la capacité, parce que l'air a une permittivité sept fois plus faible et compte comme $0,7\mathrm{mm}$ de verre.

2) Le champ se concentre dans l'air. Les deux couches portent la même densité $\sigma =Q/S$ ; le champ vaut $\sigma /{\epsilon }_0$ dans l'air et $\sigma /({\epsilon }_0{\epsilon }_r)$ dans le verre : sept fois plus intense dans l'air. La circulation donne $U=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\left(e_1+\frac{e_2}{{\epsilon }_r}\right)$, d'où $$E_{\text{air}}=\frac{U}{e_1+e_2/{\epsilon }_r}=\frac{3,0\times 10^3}{3,71\times 10^{-4}}\approx 8,1\times 10^6\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1},E_{\text{verre}}=\frac{E_{\text{air}}}{{\epsilon }_r}\approx 1,2\times 10^6\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}.$$ Le verre est loin de sa rigidité ; l'air la dépasse de près de trois fois : le film d'air claque. Des décharges s'y produisent (on les appelle décharges partielles), qui érodent peu à peu le verre jusqu'à le percer.

3) Les tensions de claquage. L'air claque dès que $E_{\text{air}}=E_d$, soit $U=E_d\left(e_1+e_2/{\epsilon }_r\right)=3,0\times 10^6\times 3,71\times 10^{-4}\approx 1,1\mathrm{kV}$. Sans défaut, le verre seul tiendrait jusqu'à $10^7\times 2,0\times 10^{-3}\approx 20\mathrm{kV}$ : un film d'un dixième de millimètre divise la tension de service par près de vingt.

4) Le paradoxe. À charge donnée, le champ dans une couche est $\sigma /\epsilon$ : la couche de plus faible permittivité porte le champ le plus intense. Et c'est l'air qui a, à la fois, la plus faible permittivité et la plus faible rigidité : les deux défauts se cumulent. D'où les précautions industrielles : imprégnation sous vide des condensateurs et des câbles haute tension par une huile ou une résine, pour chasser toute bulle d'air.

Ce que l'exercice installe. Des couches parallèles aux armatures sont en série (même charge, les tensions s'ajoutent) ; le champ s'y répartit en raison inverse des permittivités ; la tenue en tension est décidée par la couche la plus faible, pas par la moyenne. Un défaut mince peut gouverner un composant.