Problème : l'électromètre absolu de Kelvin, capacité du condensateur plan et densité d'énergie électrique

La stratégie. Tout découle du champ du plan infini, $\sigma /2{\epsilon }_0$ : superposé deux fois, il donne la capacité ; pris une seule fois, la force sur une armature, dont la densité surfacique s'identifie à la densité d'énergie. Balance et ressort relèvent de la statique de première année.

1) $C={\epsilon }_{0}S/e$. Un plan infini $\sigma$ crée, de chaque côté, le champ uniforme $\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$ (Gauss sur un pilulier : $2E{S}_0=\sigma S_0/{\epsilon }_0$), dirigé en s'éloignant du plan si $\sigma >0$. Entre les armatures, les champs des deux plans sont dirigés de $+\sigma$ vers $-\sigma$ et s'ajoutent ; à l'extérieur, ils se compensent : $$E_{\text{int}}=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0},E_{\text{ext}}=0.$$ Tension : par circulation de l'armature $+$ à l'armature $-$, le long d'une ligne de champ, $U=E_{\text{int}}e=\frac{\sigma e}{{\epsilon }_0}=\frac{Qe}{{\epsilon }_{0}S}$, d'où $$C=\frac{Q}{U}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{e}.$$ Application : $S=\pi \times (5,0\times 10^{-2}{)}^2=7,85\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$, $C\approx 34,8\mathrm{pF}$ ; et $e=2\mathrm{mm}\ll \sqrt{S}=89\mathrm{mm}$.

2) La force : le champ de l'autre armature, $\sigma /2{\epsilon }_0$. Une distribution de charges n'exerce aucune force résultante sur elle-même : les forces entre ses éléments sont deux à deux opposées (principe des actions réciproques). La force sur l'armature $+Q$ est donc celle qu'exerce sur elle l'armature $-Q$, c'est-à-dire $Q$ fois le champ de l'armature $-Q$ seule, $\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$, dirigé vers elle : $$F=Q\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}=\frac{{\epsilon }_{0}S{U}^2}{2e^2}(\text{avec }Q=CU),$$ attractive. Le piège : multiplier $Q$ par le champ total entre les armatures, $\sigma /{\epsilon }_0$, donnerait le double. Au niveau de l'armature, le champ total passe de $\sigma /{\epsilon }_0$ à $0$ : la bonne valeur, $\sigma /2{\epsilon }_0$, est la moyenne des champs de part et d'autre, qui est aussi le champ de l'autre armature. La pression : $$P=\frac{F}{S}=\frac{{\sigma }^2}{2{\epsilon }_0}=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2=u_e,E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}.$$ La pression électrostatique est égale à la densité d'énergie du champ ; les unités concordent, $1\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-2}=1\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$. Pour $E=1,0\times 10^6\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ : $P=\frac{1}{2}\times 8,85\times 10^{-12}\times 10^{12}\approx 4,4\mathrm{Pa}$ ; au claquage, $E_d=3,0\times 10^6\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ : $P\approx 40\mathrm{Pa}$, quatre dix-millièmes de la pression atmosphérique. Les forces électrostatiques restent faibles dans l'air, parce que le claquage plafonne le champ.

3) Le travail fourni est stocké dans le champ. À charge constante, $E_p=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^{2}e}{2{\epsilon }_{0}S}$, croissante avec $e$. L'opérateur, qui déplace l'armature très lentement, compense exactement la force électrique : il exerce $F$ dans le sens des $e$ croissants et fournit $\delta W=F\mathrm{d}e$. En l'absence d'autre échange d'énergie, $\delta W=\mathrm{d}{E}_p$ : $$F\mathrm{d}e=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}\mathrm{d}e⟹F=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S},$$ la force de la question 2. La densité d'énergie. Avec $E=\sigma /{\epsilon }_0=Q/({\epsilon }_{0}S)$, $E_p=\frac{Q^{2}e}{2{\epsilon }_{0}S}=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\times (Se)$ : l'énergie du condensateur est celle d'un volume $Se$ rempli d'énergie à la densité $u_e=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$, établie ici à partir de l'énergie du condensateur. Lecture énergétique du déplacement : $Q$ fixée, le champ $\sigma /{\epsilon }_0$ ne change pas ; seul le volume où il règne augmente, de $S\mathrm{d}e$, ce qui stocke $u_{e}S\mathrm{d}e=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}\mathrm{d}e$ : exactement le travail fourni. Le signe : la force électrique sur l'armature, projetée sur le sens des $e$ croissants, vaut $F_e=-\frac{\mathrm{d}{E}_p}{\mathrm{d}e}=-\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}<0$ : elle tend à diminuer $e$, elle est attractive. (Écrire « $-\mathrm{d}{E}_p/\mathrm{d}e=+Q^2/2{\epsilon }_{0}S$ » serait une erreur de signe.)

4) Une tension mesurée par une masse. À l'équilibre de la balance, à bras égaux, $mg=F=\frac{{\epsilon }_{0}S{U}^2}{2e^2}$, d'où $$U=e\sqrt{\frac{2mg}{{\epsilon }_{0}S}}.$$ Une masse, une longueur, une aire et ${\epsilon }_0$ : la mesure est absolue, sans étalon électrique. Pour $U=1,00\mathrm{kV}$ et $e=2,0\mathrm{mm}$ : $E=5,0\times 10^5\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$, $F\approx 8,7\times 10^{-3}\mathrm{N}$, $m=F/g\approx 0,89\mathrm{g}$. La tension maximale est celle du claquage : $U=E_{d}e=6,0\mathrm{kV}$, $F\approx 0,31\mathrm{N}$, $m\approx 32\mathrm{g}$. Incertitude : $U$ est proportionnelle à $e{m}^{1/2}$, donc $$\frac{u(U)}{U}=\sqrt{{\left(\frac{u(e)}{e}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\frac{u(m)}{m}\right)}^2}=\sqrt{(0,5\%{)}^2+(0,06\%{)}^2}\approx 0,5\%.$$ C'est l'entrefer qui limite : $10\mu \mathrm{m}$ sur $2\mathrm{mm}$. Kelvin le contournait en ne mesurant que des déplacements de la plaque, sur une vis micrométrique : à masse fixée, $U_1-U_2=(e_1-e_2)\sqrt{2mg/{\epsilon }_{0}S}$.

5) Les bords, et la garde. En (a), loin des bords, les lignes sont parallèles et régulièrement espacées : champ uniforme $\sigma /{\epsilon }_0$. Près des bords, elles s'évasent et s'écartent : le champ y est plus faible et oblique, et quelques lignes partent de la face extérieure de l'armature $+$ pour contourner le bord. La force sur une armature finie diffère donc de ${\epsilon }_{0}S{U}^2/2e^2$, d'une fraction de l'ordre de quelques $e/\sqrt{S}$. En (b), l'anneau de garde prolonge le disque : sous le disque, les lignes sont droites et régulièrement espacées jusqu'à son bord ; l'évasement est reporté au bord de l'anneau, fixe et non pesé. La balance mesure la force sur le disque seul, à laquelle le modèle infini s'applique sans correction : on ne rend pas le condensateur infini, on rend son bord inoffensif pour la grandeur mesurée.

6) Le « pull-in » d'un MEMS. La question 2 donne la force attractive $\frac{{\epsilon }_{0}S{U}^2}{2e^2}$, qui croît quand $e$ diminue. Le ressort exerce la force de rappel $k(e_0-e)$ dans le sens des $e$ croissants. Équilibre : $$k(e_0-e)=\frac{{\epsilon }_{0}S{U}^2}{2e^2}.$$ Discussion graphique. La droite du ressort et la courbe électrique en $1/e^2$ se coupent deux fois pour $U$ petit ; quand $U$ croît, les deux intersections se rapprochent, se confondent (tangence), puis disparaissent.

Stabilité. Avec $f(e)=k(e_0-e)-\frac{{\epsilon }_{0}S{U}^2}{2e^2}$, force totale selon les $e$ croissants, l'équilibre est stable si $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}e}<0$ : $$-k+\frac{{\epsilon }_{0}S{U}^2}{e^3}<0.$$ À l'équilibre, ${\epsilon }_{0}S{U}^2=2k{e}^2(e_0-e)$, et la condition devient $-k+\frac{2k(e_0-e)}{e}<0$, soit $2(e_0-e)<e$ : $$e>\frac{2}{3}{e}_0.$$ La limite $e=\frac{2}{3}{e}_0$ est la tangence ; elle a lieu pour $U_{PI}^2=\frac{2k}{{\epsilon }_{0}S}{\left(\frac{2e_0}{3}\right)}^2\frac{e_0}{3}=\frac{8k{e}_0^3}{27{\epsilon }_{0}S}$. Au-delà, il n'y a plus d'équilibre : l'armature se colle, c'est le pull-in. Seul le premier tiers de l'entrefer est utilisable. Application : $$U_{PI}=\sqrt{\frac{8\times 1,0\times (2,0\times 10^{-6}{)}^3}{27\times 8,85\times 10^{-12}\times 10^{-8}}}\approx 5,2\mathrm{V},e_{PI}=\frac{2}{3}{e}_0\approx 1,3\mu \mathrm{m}.$$ Quelques volts suffisent au micromètre, la force variant en $U^2/e^2$. Le champ, $U/e\approx 4\times 10^6\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$, dépasse $E_d$ sans étincelle : sur un micromètre, aucune avalanche d'ionisation n'a la place de se développer. Cas limite : pour $U\to 0$, la force électrique s'annule et $e\to e_0$, l'équilibre au repos, stable.

Le résultat établi — la capacité du condensateur plan et la densité volumique d'énergie électrique. Deux distributions surfaciques uniformes $\pm \sigma$, d'aire $S$, distantes de $e\ll \sqrt{S}$, créent entre elles le champ uniforme $\sigma /{\epsilon }_0$ et aucun champ à l'extérieur ; la capacité vaut $C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{e}$. Chaque armature subit le champ de l'autre seule, $\sigma /2{\epsilon }_0$ : elles s'attirent avec la force $F=\frac{Q^2}{2{\epsilon }_{0}S}=\frac{{\epsilon }_{0}S{U}^2}{2e^2}$, soit une pression électrostatique $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ ; l'énergie du condensateur, $\frac{1}{2}{Q}^2/C$, est celle du volume $Se$ rempli à la densité volumique d'énergie électrique $u_e=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$, égale à cette pression. L'électromètre absolu de Kelvin en tire une mesure de tension par une pesée ; l'actionneur MEMS, un effondrement au-delà de $U_{PI}$.

Ce que le problème installe. La superposition de deux plans donne la capacité ; la force sur une armature se calcule avec le champ de l'autre armature seule, sans facteur 2 parasite ; la pression électrostatique est la densité d'énergie, ce que confirme un bilan à charge constante. Côté expérience : une tension ramenée à une masse et à une longueur, et l'anneau de garde, qui rend le modèle infini exact pour la partie mesurée.