électromagnétisme (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

La plaque épaisse et le jeu de barres : champ uniforme hors des sources, force de Laplace volumique

Magnétostatique · B. Les deux lois fondamentales · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une plaque conductrice infinie occupe la région $- e /2 < x < e /2$ ; elle est parcourue par un courant de densité volumique uniforme $j = j u_{z}$ , avec $j > 0$ .

1) Par les symétries et les invariances, montrer que $B = B (x) u_{y}$ .

2) Le plan $x = 0$ est un plan de symétrie des courants. En déduire que $B (- x) = - B (x)$ ; que vaut $B (0)$ ?

3) Appliquer le théorème d'Ampère au contour rectangulaire $C$ de la figure (côtés de longueur $L$ parallèles à $u_{y}$ , aux abscisses $x$ et $- x$ ) pour obtenir $B (x)$ en tout point. Tracer $B (x)$ . Qu'a de surprenant le champ à l'extérieur ? De quelle grandeur dépend-il seulement ?

4) Deux plaques identiques, d'épaisseur $e$ , séparées par un intervalle d'air de largeur $g$ , sont parcourues par des densités de courant opposées (aller et retour). Déterminer le champ en tout point. À quel dispositif du cours ce résultat fait-il penser ?

5) Force de Laplace volumique. Exprimer la force volumique $j \land B$ dans une plaque seule, puis dans chacune des deux plaques de la question 4. En intégrant sur l'épaisseur, montrer que les deux plaques se repoussent avec une force par unité de surface égale à $\frac{B _{g}^{2}}{2 μ _{0}}$ , où $B_{g}$ est le champ dans l'intervalle.

6) Un jeu de barres d'alimentation est fait de deux barres de cuivre de section $10 cm \times 1 cm$ , parcourues par $1000 A$ à l'aller et au retour, à $g = 2 mm$ l'une de l'autre, leurs grandes faces en regard. Calculer $j$ , le champ entre les barres, la force de répulsion par mètre de longueur, et cette force lors d'un court-circuit de $30 kA$ . Calculer l'inductance linéique de la paire par l'énergie magnétique. Dans quel domaine le modèle des plaques infinies est-il légitime ?

Corrigé

La stratégie. Symétries et invariances donnent la direction et la variable ; un contour d'Ampère symétrique donne la valeur ; la superposition traite deux plaques ; la force se calcule élément de volume par élément de volume, puis s'intègre.

1) Direction et variable. La distribution est invariante par translation selon $u_{y}$ et selon $u_{z}$ : $B$ ne dépend que de $x$ . Le plan qui passe par $M$ et qui est perpendiculaire à $u_{y}$ contient la direction des courants : la réflexion par rapport à lui laisse la distribution invariante, c'est un plan de symétrie ; le pseudo-vecteur $B (M)$ lui est perpendiculaire : $B = B (x) u_{y}$ .

2) Imparité. Dans la réflexion par rapport au plan $x = 0$ , plan de symétrie, la composante d'un pseudo-vecteur parallèle au plan change de signe : $B (- x) = - B (x)$ . En particulier $B (0) = 0$ : au cœur de la plaque, les contributions des deux moitiés se compensent.

3) Le contour d'Ampère. Orientons $C$ de sorte que sa normale soit $+ u_{z}$ (le côté d'abscisse $x > 0$ parcouru selon $+ u_{y}$ ). Les côtés parallèles à $u_{x}$ sont perpendiculaires au champ : circulation nulle. Il reste $B (x) L - B (- x) L = 2 B (x) L$ .

Pour $0 < x < e /2$ : le courant enlacé vaut $j \times 2 xL$ , d'où $B (x) = μ_{0} j x$ : linéaire, nul au centre.
Pour $x > e /2$ : le courant enlacé vaut $j e L$ , d'où $B = \frac{μ _{0} j e}{2}$ , indépendant de $x$ .

Le champ est uniforme de chaque côté de la plaque, sans décroître avec la distance — l'analogue magnétique du plan chargé. Il ne dépend que du produit $j e$ , l'intensité par unité de largeur de la plaque (en ampères par mètre) : une plaque deux fois plus mince et deux fois plus parcourue crée le même champ extérieur.

4) Aller et retour : un champ confiné. Par superposition, une plaque parcourue par $+ j$ crée $\pm \frac{μ _{0} j e}{2}$ de part et d'autre, l'autre plaque, parcourue par $- j$ , le champ opposé. À l'extérieur de l'ensemble, les deux contributions sont opposées : champ nul. Dans l'intervalle, elles s'ajoutent : $B_{g} = μ_{0} j e$ , uniforme. Dans chaque plaque, le champ varie linéairement de $0$ (face extérieure) à $B_{g}$ (face intérieure). C'est la situation du solénoïde : un champ uniforme confiné entre deux nappes de courant opposées, nul au-dehors. Le jeu de barres, le câble coaxial et le solénoïde sont trois versions du même principe.

5) Les barres se repoussent. Dans une plaque seule, $j \land B = j u_{z} \land μ_{0} j x u_{y} = - μ_{0} j^{2} x u_{x}$ : la force volumique est dirigée vers le plan médian, de part et d'autre : la plaque est comprimée sur elle-même (effet de striction), sans force résultante. Dans la paire, prenons la plaque d'aller à gauche ; le champ y croît de $0$ à $B_{g}$ de la face extérieure à la face intérieure, et vaut, à la distance $u$ de la face extérieure, $B = μ_{0} j u$ (Ampère local). La force volumique $j B$ est dirigée vers l'extérieur de la paire, en s'éloignant de l'autre plaque. Par unité de surface : $\frac{F}{S} = \int_{0}^{e} j μ_{0} j u d u = \frac{μ _{0} j ^{2} e ^{2}}{2} = \frac{B _{g}^{2}}{2 μ _{0}} .$ Les deux plaques se repoussent, avec une force par unité de surface égale à la densité d'énergie magnétique de l'intervalle : c'est la pression magnétique. On retrouve que deux courants opposés se repoussent.

6) Le jeu de barres. $j = \frac{1000}{0 , 10 \times 0 , 01} = 1, 0 \times 1 0^{6} A m^{- 2}$ ( $1 A m m^{- 2}$ ) ; $B_{g} = μ_{0} j e = \frac{μ _{0} I}{w} = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 1000}{0 , 10} \approx 12, 6 mT$ ( $w = 10 cm$ la largeur) ; pression $\frac{B _{g}^{2}}{2 μ _{0}} \approx 63 Pa$ , d'où une répulsion de $63 \times 0, 10 \approx 6, 3 N$ par mètre. Lors d'un court-circuit de $30 kA$ , la force est multipliée par $3 0^{2} = 900$ : $5, 7 kN$ par mètre, d'où les entretoises qui maintiennent les barres. Inductance : l'énergie par unité de longueur vaut $\frac{B _{g}^{2}}{2 μ _{0}} g w$ dans l'intervalle, plus $2 \times \int_{0}^{e} \frac{( B _{g} u / e ) ^{2}}{2 μ _{0}} w d u = \frac{B _{g}^{2}}{2 μ _{0}} \frac{2 e}{3} w$ dans les barres ; avec $B_{g} = μ_{0} I / w$ et $W^{'} = \frac{1}{2} L^{'} I^{2}$ , $L^{'} = \frac{μ _{0}}{w} (g + \frac{2 e}{3}) = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7}}{0 , 10} \times 8, 7 \times 1 0^{- 3} \approx 0, 11 μ H m^{- 1} .$ Le modèle des plaques infinies vaut tant que l'on se place à des distances petites devant la largeur $w = 10 cm$ et loin des bords : c'est le cas de l'intervalle, de $2 mm$ .

Ce que l'exercice installe. Un contour d'Ampère symétrique et la parité d'un pseudo-vecteur ; un champ uniforme hors des sources, qui ne dépend que de l'intensité par unité de largeur ; la force de Laplace volumique $j \land B$ , qui comprime une plaque seule et repousse deux courants opposés, avec la pression magnétique $B^{2} /2 μ_{0}$ .

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