Le bout d'un solénoïde : la moitié du champ, la moitié du flux

La stratégie. Une symétrie miroir appliquée à une distribution qui n'est pas symétrique : on complète le solénoïde par son image, on utilise le résultat connu pour l'ensemble, puis la règle du pseudo-vecteur répartit exactement le champ entre les deux moitiés.

1) L'image d'une spire. Une spire de $\mathcal{S}$ est dans un plan perpendiculaire à l'axe, donc parallèle à $\Pi$ ; la réflexion par $\Pi$ la transporte dans un plan parallèle sans changer le sens de rotation du courant (seule la coordonnée $z$ change de signe, et le courant d'une spire n'a pas de composante selon $z$). ${\mathcal{S}}^{\prime }$ est le solénoïde semi-infini $z\ge 0$, parcouru dans le même sens : $\mathcal{S}\cup {\mathcal{S}}^{\prime }$ est un solénoïde infini, de champ $B_0{\overrightarrow{u}}_z$ à l'intérieur ($r<R$) et nul à l'extérieur.

2) La moitié exacte. La réflexion par $\Pi$ échange $\mathcal{S}$ et ${\mathcal{S}}^{\prime }$. En un point $P$ de $\Pi$, image de lui-même, le champ ${\overrightarrow{B}}_{{\mathcal{S}}^{\prime }}(P)$ est le transformé de ${\overrightarrow{B}}_{\mathcal{S}}(P)$ par la règle du pseudo-vecteur : sa composante normale à $\Pi$ est conservée, ses composantes parallèles sont renversées. Donc $B_{{\mathcal{S}}^{\prime },z}(P)=B_{\mathcal{S},z}(P)$, et la somme vaut le champ du solénoïde infini : $$B_{\mathcal{S},z}(P)=\frac{B_0}{2}(r<R),B_{\mathcal{S},z}(P)=0(r>R).$$ Ce résultat est exact, pas une approximation : sur sa face de sortie, le champ axial d'un solénoïde semi-infini vaut exactement la moitié du champ intérieur. (Les composantes radiales des deux moitiés sont opposées : leur somme est nulle, comme il se doit.)

3) La moitié du flux. Le flux à travers la face de sortie vaut $\frac{B_0}{2}\pi R^2=\frac{{\Phi }_0}{2}$. Loin dans le solénoïde, le flux vaut ${\Phi }_0$ ; le flux étant conservatif, la surface fermée formée d'une section profonde, de la paroi latérale et de la face de sortie a un flux total nul : l'autre moitié du flux sort par la paroi latérale, dans la région proche de l'extrémité. Les lignes de champ, parallèles à l'axe loin du bout, s'évasent avant la face et s'en écartent : la moitié d'entre elles traverse le bobinage avant d'atteindre $\Pi$.

4) Sur l'axe. Les spires comprises entre $z^{\prime }$ et $z^{\prime }+\mathrm{d}{z}^{\prime }$ ($z^{\prime }\le 0$) portent $nI\mathrm{d}{z}^{\prime }$ et sont à la distance $u=z-z^{\prime }$ du point : $$B(z)={\int }_{-\infty }^0\frac{{\mu }_{0}nI}{2}\frac{R^2\mathrm{d}{z}^{\prime }}{{\left(R^2+(z-z^{\prime }{)}^2\right)}^{3/2}}=\frac{B_0}{2}{\int }_z^{\infty }\frac{R^2\mathrm{d}u}{(R^2+u^2{)}^{3/2}}=\frac{B_0}{2}{\left[\frac{u}{\sqrt{R^2+u^2}}\right]}_z^{\infty }=\frac{B_0}{2}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right).$$ On retrouve $B(0)=B_0/2$ ; $B(-R)=0,854B_0$, $B(R)=0,146B_0$ ; $B\to B_0$ pour $z\to -\infty$. Pour $z\gg R$, $1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\simeq \frac{R^2}{2z^2}$, d'où $B\simeq \frac{B_0{R}^2}{4z^2}=\frac{{\Phi }_0}{4\pi z^2}$ : loin du bout, tout se passe comme si le flux ${\Phi }_0$ s'échappait d'un point, également dans toutes les directions. Le bout d'un long solénoïde (ou d'un long aimant) ressemble à une « source » de flux — qui n'existe pas : ce flux revient par l'autre extrémité.

5) L'aimant d'IRM. $nI=\frac{B}{{\mu }_0}=\frac{1,5}{4\pi \times 10^{-7}}\approx 1,2\times 10^6\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}$ — par exemple deux mille spires par mètre parcourues par $600\mathrm{A}$, ce qui exige des bobinages supraconducteurs. Densité d'énergie : $\frac{B^2}{2{\mu }_0}\approx 9,0\times 10^5\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$, et $3,6\times 10^6\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$ à $3\mathrm{T}$. En entrant, le patient passe de quelques fractions de $B_0$ à $B_0/2=0,75\mathrm{T}$ à l'entrée puis à $B_0$ au centre. Le gradient à l'entrée vaut $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}z}(0)=-\frac{B_0}{2R}\approx -1,7\mathrm{T}{\mathrm{m}}^{-1}$ : un objet ferromagnétique, aimanté par le champ, y subit la force $\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B})$ dirigée vers les champs forts, et devient un projectile. Limites du modèle : un vrai aimant d'IRM est court (longueur de l'ordre de trois rayons) et corrigé par des bobines auxiliaires pour rendre le champ uniforme au centre.

Ce que l'exercice installe. Ce que le programme fait admettre (champ extérieur nul du solénoïde infini) et ce qu'on en tire exactement par une symétrie bien choisie ; la règle du pseudo-vecteur appliquée à une composante normale ; la conservation du flux, qui dit où passe le flux manquant et comment les lignes s'évasent ; le champ d'une spire admis, intégré.