électromagnétisme (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Le dipôle terrestre et la boussole

Magnétostatique · D. Le dipôle magnétique · niveau 2

Énoncé

On modélise le champ magnétique terrestre par celui d'un dipôle de moment $m$ placé au centre de la Terre (rayon $R_{T} = 6371 km$ ) ; le cours fournit, en coordonnées sphériques d'axe $m$ , $B = \frac{μ _{0} m}{4 π r ^{3}} (2 cos θ u_{r} + sin θ u_{θ})$ . À l'équateur magnétique, au sol, $B_{e ˊ q} = 30 μ T$ (donnée de l'énoncé, valeur arrondie).

1) Calculer $m$ . Que vaut le champ aux pôles magnétiques ? Le pôle géographique nord est-il un pôle nord ou un pôle sud magnétique ? Dans quel sens pointe $m$ ?

2) Montrer que l'équation d'une ligne de champ, dans un plan méridien, s'écrit $r = r_{0} sin^{2} θ$ , et donner la signification de $r_{0}$ . Une ligne de champ culmine à l'équateur à $r_{0} = 2 R_{T}$ : à quelle latitude magnétique touche-t-elle le sol ? Esquisser quelques lignes.

3) L'inclinaison $I$ est l'angle que fait le champ avec l'horizontale. Montrer que $tan I = 2 tan λ$ , où $λ$ est la latitude magnétique. Calculer $I$ pour $λ = 4 9^{\circ}$ (environ $6 4^{\circ}$ mesurés à Paris) et la norme du champ.

4) Une boussole est une aiguille aimantée de moment $m_{a} = 0, 030 A m^{2}$ et de moment d'inertie $J = 1, 7 \times 1 0^{- 8} kg m^{2}$ autour de son pivot vertical, plongée dans la composante horizontale $B_{h} = 20 μ T$ du champ terrestre. Discuter ses positions d'équilibre par l'énergie potentielle. Établir l'équation des petites oscillations et calculer leur période. Comment mesurer $B_{h}$ avec une boussole et un chronomètre ?

5) La boussole subit-elle une force ? Estimer la résultante due à la non-uniformité du champ terrestre, et conclure.

Corrigé

La stratégie. Le champ dipolaire est fourni : on l'exploite — valeur au sol, géométrie des lignes, angle avec l'horizontale ; les actions d'un champ sur un dipôle sont fournies aussi : couple, énergie potentielle, résultante.

1) Le moment terrestre. À l'équateur, $θ = π /2$ : $B_{e ˊ q} = \frac{μ _{0} m}{4 π R _{T}^{3}}$ , d'où $m = \frac{4 π R _{T}^{3} B _{e ˊ q}}{μ _{0}} = \frac{( 6 , 371 \times 1 0 ^{6} ) ^{3} \times 30 \times 1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 7}} \approx 7, 8 \times 1 0^{22} A m^{2} .$ Aux pôles ( $θ = 0$ ou $π$ ), le champ est radial et vaut $2 B_{e ˊ q} = 60 μ T$ . L'extrémité nord d'une aiguille aimantée est attirée vers le nord géographique : c'est là que se trouve un pôle sud magnétique, où les lignes de champ entrent dans la Terre. Le moment terrestre $m$ pointe donc vers le sud géographique (à l'inclinaison de l'axe magnétique près).

2) Les lignes de champ. Le long d'une ligne, le déplacement $(d r, r d θ)$ est colinéaire au champ : $\frac{d r}{r d θ} = \frac{B _{r}}{B _{θ}} = \frac{2 cos θ}{sin θ}$ , soit $\frac{d r}{r} = 2 \frac{cos θ}{sin θ} d θ$ , et $ln r = 2 ln sin θ + cste$ : $r = r_{0} sin^{2} θ$ . $r_{0}$ est la distance au centre où la ligne coupe le plan équatorial, son point le plus éloigné. Pour $r_{0} = 2 R_{T}$ , la ligne touche le sol ( $r = R_{T}$ ) en $sin^{2} θ = \frac{1}{2}$ , $θ = 4 5^{\circ}$ : latitude magnétique $4 5^{\circ}$ . Les lignes qui partent des hautes latitudes s'éloignent beaucoup : celles qui touchent le sol au-delà de $6 5^{\circ}$ montent à plus de cinq rayons terrestres.

3) L'inclinaison. L'horizontale locale est la direction de $u_{θ}$ , la verticale celle de $u_{r}$ : $tan I = \frac{∣ B _{r} ∣}{B _{θ}} = \frac{2 ∣ cos θ ∣}{sin θ}$ . Avec la latitude magnétique $λ = π /2 - θ$ , $tan I = 2 tan λ$ . Pour $λ = 4 9^{\circ}$ , $tan I = 2, 30$ et $I \approx 6 6^{\circ}$ , proche des $6 4^{\circ}$ mesurés : le modèle dipolaire, centré et aligné, est bon à quelques degrés près. La norme vaut $B = \frac{μ _{0} m}{4 π R _{T}^{3}} 4 cos^{2} θ + sin^{2} θ = B_{e ˊ q} 1 + 3 sin^{2} λ \approx 49 μ T$ , à comparer aux $47 μ T$ mesurés. À Paris, le champ pointe plus vers le sol qu'il n'est horizontal.

4) La boussole, un oscillateur. Repérons l'aiguille par l'angle $φ$ entre $m_{a}$ et $B_{h}$ : $E_{p} = - m_{a} B_{h} cos φ$ , minimale pour $φ = 0$ (équilibre stable, l'aiguille alignée sur le champ) et maximale pour $φ = π$ (équilibre instable). Le couple $m_{a} \land B_{h}$ a pour composante verticale $- m_{a} B_{h} sin φ$ , et le théorème du moment cinétique autour du pivot donne $J φ ¨ = - m_{a} B_{h} sin φ ≃ - m_{a} B_{h} φ, T = 2 π \frac{J}{m _{a} B _{h}} = 2 π \frac{1 , 7 \times 1 0 ^{- 8}}{0 , 030 \times 20 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 1, 1 s .$ Mesurer la période donne $m_{a} B_{h} = 4 π^{2} J / T^{2}$ ; en comparant les périodes dans le champ terrestre seul, puis dans le champ terrestre plus un champ connu (créé par des bobines), on élimine $m_{a} J$ et l'on obtient $B_{h}$ : c'est la méthode de Gauss.

5) Pas de force, un couple. Dans un champ uniforme, $grad (m_{a} \cdot B) = 0$ : aucune résultante, seulement un couple. Le champ terrestre varie à l'échelle du rayon terrestre ( $\partial B / \partial r = - 3 B / r$ pour un champ en $1/ r^{3}$ ), d'où une force de l'ordre de $m_{a} \times \frac{3 B}{R _{T}} \approx 0, 030 \times \frac{3 \times 47 \times 1 0 ^{- 6}}{6 , 4 \times 1 0 ^{6}} \approx 7 \times 1 0^{- 13} N$ , totalement négligeable. Une boussole s'oriente, elle ne se déplace pas. Près d'un aimant, où le champ varie au centimètre, la force devient sensible : l'aiguille est attirée.

Ce que l'exercice installe. Exploiter un champ fourni : ordre de grandeur d'un moment, équation des lignes par la colinéarité, inclinaison ; les actions d'un champ sur un dipôle rigide — l'énergie potentielle $- m \cdot B$ dit la stabilité, le couple fait osciller, la résultante n'existe qu'en champ non uniforme.

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