Le fil épais, puis la cavité : un champ uniforme par superposition

La stratégie. Comme pour la boule percée d'électrostatique : la cavité est la superposition du cylindre plein parcouru par $\overrightarrow{j}$ et d'un cylindre fictif parcouru par $-\overrightarrow{j}$ ; chaque champ, écrit sous forme vectorielle, s'ajoute sans calcul d'angle.

1) Le fil épais. Invariances : translation selon $Oz$ et rotation autour de $Oz$ : $B$ ne dépend que de $r$. Symétries : le plan qui contient $M$ et l'axe contient les courants : plan de symétrie, $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire : $\overrightarrow{B}=B(r){\overrightarrow{u}}_{\theta }$, orthoradial. Ampère sur le cercle de rayon $r$ d'axe $Oz$ : $2\pi rB(r)={\mu }_0{I}_{\text{enl}}$.

• $r<R$ : $I_{\text{enl}}=j\pi r^2=I\frac{r^2}{R^2}$, d'où $B=\frac{{\mu }_{0}jr}{2}=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}$, linéaire.
• $r>R$ : $I_{\text{enl}}=I$, $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$ : hors du fil, le champ ne dépend pas de son rayon.

Le champ est continu en $r=R$ (pas de courant surfacique) et maximal à la surface. Comme ${\overrightarrow{u}}_z\wedge \overrightarrow{HM}=r{\overrightarrow{u}}_{\theta }$, le champ intérieur s'écrit $\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{2}\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{HM}$.

2) Ampère impuissant. La distribution n'est plus invariante par rotation autour de $Oz$ : sur un cercle centré sur l'axe, le champ n'a plus une norme constante, et la circulation, toujours égale à ${\mu }_0{I}_{\text{enl}}$, ne donne plus le champ. Restent l'invariance par translation selon $Oz$ et un plan de symétrie, celui qui contient $Oz$ et $O^{\prime }$ : sur ce plan, $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire.

3) Un champ uniforme. En $M$ dans la cavité, le cylindre plein crée $\frac{{\mu }_0}{2}\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{HM}$, le cylindre fictif parcouru par $-\overrightarrow{j}$ crée $-\frac{{\mu }_0}{2}\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{H^{\prime }M}$ ($H^{\prime }$ projeté de $M$ sur l'axe de la cavité) ; or $\overrightarrow{HM}-\overrightarrow{H^{\prime }M}=\overrightarrow{H{H}^{\prime }}=\overrightarrow{d}$, d'où $$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{2}\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{d}.$$ Il ne dépend pas du point : uniforme, perpendiculaire à $\overrightarrow{d}$ et à l'axe, de norme $\frac{{\mu }_{0}jd}{2}$, indépendante du rayon de la cavité.

4) Valeurs. $j=\frac{I}{\pi (R^2-a^2)}=\frac{100}{\pi (1,0\times 10^{-4}-1,6\times 10^{-5})}\approx 3,8\times 10^5\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}$ ; dans la cavité, $B=\frac{{\mu }_{0}jd}{2}\approx \frac{4\pi \times 10^{-7}\times 3,8\times 10^5\times 5,0\times 10^{-3}}{2}\approx 1,2\mathrm{mT}$. En $O$ : le cylindre plein n'y crée rien ($HM=0$) ; $O$ est hors de la cavité ($d>a$), et le cylindre fictif y agit comme un fil parcouru par $-j\pi a^2\approx -19\mathrm{A}$, à la distance $d$ : $B(O)=\frac{{\mu }_0\times 19}{2\pi \times 5,0\times 10^{-3}}\approx 0,76\mathrm{mT}$.

5) Cas limites. Si $d=0$, la cavité est coaxiale : $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$ dans la cavité, comme le dit directement Ampère (aucun courant enlacé). Si $a\to 0$, la cavité disparaît, mais le champ en son centre tend vers $\frac{{\mu }_0}{2}\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{d}$, qui est bien le champ du cylindre plein au point $O^{\prime }$ : continuité.

Ce que l'exercice installe. Le fil épais, résultat du programme, et sa forme vectorielle ; sans symétrie suffisante, la superposition avec un courant fictif opposé ; un champ uniforme apparaît là où aucune intégrale directe ne l'aurait laissé voir — l'exact pendant magnétique de la cavité de l'électrostatique, avec $\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{d}$ à la place de $\overrightarrow{d}$.