électromagnétisme (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Le magnéton de Bohr, puis l'expérience de Stern et Gerlach

Magnétostatique · D. Le dipôle magnétique · niveau 2

Énoncé

Le modèle de Bohr. Dans l'atome d'hydrogène, l'électron (charge $- e$ , masse $m_{e}$ ) décrit une orbite circulaire de rayon $r$ à la vitesse $v$ autour du noyau.

1) Calculer l'intensité du courant équivalent et le moment magnétique orbital $m$ de l'électron. Montrer que $m = - \frac{e}{2 m _{e}} L$ , où $L$ est le moment cinétique de l'électron par rapport au noyau.

2) Le modèle de Bohr postule que, sur l'orbite fondamentale, $∥ L ∥ = ℏ$ . En déduire le magnéton de Bohr $μ_{B}$ , moment magnétique correspondant. Avec le rayon de Bohr $a_{0} = 52, 9 pm$ , calculer la vitesse, la période, le courant équivalent, et vérifier la valeur de $μ_{B}$ .

L'expérience de Stern et Gerlach (1922). Un jet d'atomes d'argent (masse molaire $108 g mo l^{- 1}$ ), électriquement neutres, de vitesse $v = 500 m s^{- 1}$ , traverse sur une longueur $ℓ = 5, 0 cm$ l'entrefer d'un aimant où le champ, dirigé selon $u_{z}$ (perpendiculaire au jet), a une composante qui varie selon $z$ avec $\frac{\partial B _{z}}{\partial z} = 1, 0 \times 1 0^{3} T m^{- 1}$ . Chaque atome porte un moment magnétique de norme $μ_{B}$ .

3) Exprimer la force subie par un atome dont le moment a la projection $m_{z}$ sur $u_{z}$ . Pour $m_{z} = \pm μ_{B}$ , calculer la force, l'accélération, la durée de traversée et la déviation à la sortie de l'aimant.

4) Si les moments étaient orientés au hasard, qu'observerait-on sur l'écran ? On observe deux taches : conclure.

5) Pourquoi faut-il un champ non uniforme ? Pourquoi des atomes neutres ? Estimer le rayon de la trajectoire d'un ion $A g^{+}$ de même vitesse dans un champ de $1 T$ .

Corrigé

La stratégie. Un électron sur une orbite est une boucle de courant : son moment magnétique est $I S$ , et la relation avec le moment cinétique ne fait pas intervenir le rayon. La quantification du moment cinétique donne alors l'unité naturelle du moment magnétique atomique, que l'expérience de Stern et Gerlach révèle par la force qu'exerce un champ non uniforme.

1) Le rapport gyromagnétique. L'électron repasse en un point de l'orbite toutes les $T = 2 π r / v$ : le courant équivalent a l'intensité $I = \frac{e}{T} = \frac{e v}{2 π r}$ , dans le sens opposé au mouvement de l'électron (charge négative). Le moment magnétique a pour norme $I S = \frac{e v}{2 π r} π r^{2} = \frac{e v r}{2}$ . Le moment cinétique a pour norme $L = m_{e} v r$ et est orienté par le sens du mouvement, le moment magnétique par le sens du courant, opposé : $m = - \frac{e}{2 m _{e}} L .$ Le rayon et la vitesse ont disparu : le rapport $\frac{e}{2 m _{e}}$ est universel pour un mouvement orbital.

2) Le magnéton de Bohr. Avec $∥ L ∥ = ℏ$ : $μ_{B} = \frac{e ℏ}{2 m _{e}} = \frac{1 , 60 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 , 055 \times 1 0 ^{- 34}}{2 \times 9 , 11 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 9, 27 \times 1 0^{- 24} A m^{2} .$ Sur l'orbite de Bohr : $v = \frac{ℏ}{m _{e} a _{0}} \approx 2, 19 \times 1 0^{6} m s^{- 1}$ (moins de un pour cent de la vitesse de la lumière), $T = \frac{2 π a _{0}}{v} \approx 1, 52 \times 1 0^{- 16} s$ , $I = \frac{e}{T} \approx 1, 05 mA$ — un milliampère, à l'échelle d'un atome — et $I π a_{0}^{2} \approx 9, 27 \times 1 0^{- 24} A m^{2}$ : on retrouve $μ_{B}$ . C'est l'ordre de grandeur de tous les moments magnétiques atomiques, et l'unité dans laquelle on compte l'aimantation de la matière (chapitre suivant).

3) La force de Stern et Gerlach. La résultante fournie, $grad (m \cdot B)$ , a pour composante selon $z$ , pour un moment de projection constante $m_{z}$ sur un champ dirigé selon $u_{z}$ : $F_{z} = m_{z} \frac{\partial B _{z}}{\partial z}$ . Pour $m_{z} = \pm μ_{B}$ : $F_{z} = \pm 9, 27 \times 1 0^{- 24} \times 1 0^{3} \approx \pm 9, 3 \times 1 0^{- 21} N$ . Masse d'un atome : $108 \times 1, 66 \times 1 0^{- 27} \approx 1, 79 \times 1 0^{- 25} kg$ , d'où $a = \pm 5, 2 \times 1 0^{4} m s^{- 2}$ — cinq mille fois la pesanteur. Durée de traversée : $t = ℓ / v = 1, 0 \times 1 0^{- 4} s$ . Déviation à la sortie : $\frac{1}{2} a t^{2} \approx \pm 0, 26 mm$ ; les deux faisceaux sont déjà séparés de $0, 52 mm$ , et s'écartent encore pendant le vol libre jusqu'à l'écran.

4) Deux taches : la quantification. Des moments orientés au hasard auraient toutes les projections $m_{z}$ entre $- μ_{B}$ et $+ μ_{B}$ : on verrait une trace continue, de $- 0, 26$ à $+ 0, 26 mm$ . On observe deux taches : la projection du moment sur l'axe du champ ne prend que deux valeurs, $\pm μ_{B}$ . C'est la quantification du moment magnétique — ici celui du spin de l'électron périphérique de l'argent, et non un moment orbital.

5) Les choix de l'expérience. En champ uniforme, la résultante est nulle : un dipôle tourne mais ne dévie pas ; seul un gradient trie les atomes selon $m_{z}$ . Un ion, lui, subirait la force de Lorentz : $A g^{+}$ de même vitesse, dans $1 T$ , décrirait un cercle de rayon $\frac{m v}{e B} = \frac{1 , 79 \times 1 0 ^{- 25} \times 500}{1 , 60 \times 1 0 ^{- 19} \times 1} \approx 0, 56 mm$ : la déviation magnétique de la charge écraserait complètement l'effet du moment. Il faut des atomes neutres.

Ce que l'exercice installe. Une orbite électronique est une boucle de courant ; $m = - \frac{e}{2 m _{e}} L$ ; avec $L = ℏ$ , le magnéton de Bohr, unité des moments atomiques ; la résultante $grad (m \cdot B)$ n'existe qu'en champ non uniforme et sépare les atomes selon la projection de leur moment ; deux taches signent une quantification.

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