Lire, orienter et critiquer une carte de champ magnétique

La stratégie. Une carte se lit avec trois outils : la règle de la main droite (sens des courants), les règles de symétrie du pseudo-vecteur (direction du champ sur les plans remarquables), la densité des lignes (intensité). Elle se critique avec les deux lois : une ligne de champ magnétique ne peut ni naître ni mourir en un point (flux conservatif), et sa circulation sur une ligne fermée vaut ${\mu }_0$ fois le courant enlacé (Ampère).

1) Champ plan, indépendant de $z$. La distribution est invariante par toute translation le long des fils : $\overrightarrow{B}$ ne dépend pas de $z$. Le plan perpendiculaire aux fils qui passe par $M$ transforme chaque courant, dirigé selon ${\overrightarrow{u}}_z$, en son opposé : c'est un plan d'antisymétrie des courants, et $\overrightarrow{B}(M)$ y est contenu. Le champ est donc dans le plan de la figure.

2) Les courants et les symétries. Autour du fil de gauche, les flèches tournent dans le sens trigonométrique (vers la gauche en haut des cercles) : par la règle de la main droite, son courant sort de la figure. Autour du fil de droite, elles tournent dans le sens horaire : son courant entre. Les courants sont opposés. Le plan qui contient les deux fils est plan de symétrie (chaque courant est dans ce plan, la réflexion le conserve) : sur la droite qui joint les fils, $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire — les cercles coupent cette droite à angle droit. Le plan médiateur échange le fil de gauche et celui de droite ; comme leurs courants sont opposés, c'est un plan d'antisymétrie : $\overrightarrow{B}$ y est contenu, il est donc porté par la trace de ce plan dans la figure, perpendiculaire à la droite des fils. Cette trace est elle-même une ligne de champ, le « cercle de rayon infini » de la famille : les lignes qui entourent un fil ne la franchissent jamais. Le champ est le plus intense entre les fils, où les lignes sont les plus serrées : les deux contributions y ont le même sens. Il ne s'annule nulle part à distance finie : partout ailleurs, les deux contributions ne sont jamais à la fois opposées et de même norme.

3) La carte (b) viole la conservation du flux. Sur une petite sphère centrée en $P$, toutes les lignes sortent : le flux de $\overrightarrow{B}$ y serait strictement positif, alors que $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$ impose un flux nul à travers toute surface fermée. Il n'existe pas de « charge magnétique ». La carte respecte en revanche le théorème d'Ampère : sur un cercle centré en $P$, le champ radial est perpendiculaire au contour, la circulation est nulle, et aucun courant n'est enlacé.

4) La carte (c) viole le théorème d'Ampère. Sur une ligne de champ circulaire orientée, la circulation de $\overrightarrow{B}$ est strictement positive ; or aucun courant ne traverse le disque qu'elle borde : Ampère impose une circulation nulle. La carte respecte en revanche la conservation du flux : les lignes sont fermées, tout flux qui entre dans une surface fermée en ressort. C'est une carte possible… du champ d'un fil parcouru par un courant passant par $Q$.

5) Un câble ne rayonne presque pas de champ. Au milieu, les deux conducteurs sont à $d/2$ et leurs champs ont le même sens : $$B=2\times \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi (d/2)}=\frac{2{\mu }_{0}I}{\pi d}=\frac{2\times 4\pi \times 10^{-7}\times 16}{\pi \times 5\times 10^{-3}}\approx 2,6\mathrm{mT}.$$ À la distance $r\gg d$ dans le plan médiateur, chaque fil crée $\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$, et seule survit la composante parallèle au plan médiateur, une fraction $\frac{d/2}{r}$ de chaque norme : $$B\simeq 2\times \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\times \frac{d}{2r}=\frac{{\mu }_{0}Id}{2\pi r^2}=\frac{2\times 10^{-7}\times 16\times 5\times 10^{-3}}{1^2}=1,6\times 10^{-8}\mathrm{T},$$ seize nanoteslas, contre $3,2\mu \mathrm{T}$ pour un fil seul et $47\mu \mathrm{T}$ pour le champ terrestre. Les champs de l'aller et du retour se compensent presque : le champ décroît en $1/r^2$ au lieu de $1/r$. C'est pourquoi un câble d'alimentation ne dévie pas une boussole, alors qu'un fil isolé le ferait.

Ce que l'exercice installe. Lire une carte : orienter par la main droite, vérifier les symétries du pseudo-vecteur (perpendiculaire à un plan de symétrie, contenu dans un plan d'antisymétrie), lire l'intensité dans la densité des lignes. La critiquer : le flux conservatif interdit les lignes qui naissent en un point, Ampère interdit les boucles qui n'enlacent aucun courant. Un aller-retour de courant crée un champ qui décroît en $1/r^2$.