électromagnétisme (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Problème : le champ toroïdal d'ITER, champ d'une bobine torique et forces de Laplace sur ses conducteurs

Magnétostatique · C. Exemples fondamentaux · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans le tokamak ITER, en construction à Cadarache, le plasma est confiné dans un tore par un champ magnétique toroïdal (orthoradial) créé par des bobines disposées dans des plans méridiens autour de l'axe vertical $O z$ . Données de l'énoncé, valeurs arrondies d'après les caractéristiques publiées du projet : $18$ bobines de $134$ spires chacune, toutes parcourues par l'intensité $I = 68 kA$ ; champ nominal $5, 3 T$ à $6, 2 m$ de l'axe ; champ maximal sur les conducteurs $11, 8 T$ ; énergie magnétique stockée annoncée de l'ordre de $40 GJ$ . On modélise l'ensemble par une bobine torique de $N = 18 \times 134$ spires régulièrement réparties, dont les courants sont contenus dans les plans méridiens (plans qui contiennent l'axe $O z$ ), de section rectangulaire : $a < r < b$ , $∣ z ∣ < h /2$ .

1) Montrer, par les symétries et les invariances, que $B = B (r, z) u_{θ}$ .

2) Par le théorème d'Ampère, établir le champ en tout point, à l'intérieur et à l'extérieur du tore. A-t-on dû admettre quelque chose, comme pour le solénoïde ? Le champ est-il uniforme dans la section ?

3) Calculer $N I$ , puis le champ à $6, 2 m$ de l'axe ; comparer à la valeur nominale. À quelle distance de l'axe le champ atteint-il $11, 8 T$ ? Le plasma s'étend de $4, 2$ à $8, 2 m$ de l'axe : entre quelles valeurs le champ y varie-t-il ?

4) Exprimer l'énergie magnétique stockée $W = ∭ \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} d τ$ pour la section rectangulaire. Application avec $a = 3, 0 m$ , $b = 10 m$ , $h = 12 m$ ; comparer à la valeur annoncée. En déduire l'inductance de l'ensemble des bobines en série. Quel danger représente cette énergie si les bobines perdent subitement leur supraconductivité ?

5) Forces de Laplace. Dans la jambe intérieure d'une bobine, les conducteurs occupent une couche d'épaisseur faible, parcourue par une densité de courant $j$ parallèle à $O z$ ; le champ y passe de $0$ (côté axe) à $B_{m a x} = 11, 8 T$ (côté plasma). Déterminer le sens de la force volumique $j \land B$ , et montrer, en utilisant le théorème d'Ampère à travers la couche, que la force par unité de surface vaut $\frac{B _{m a x}^{2}}{2 μ _{0}}$ . Calculer cette pression, et la force par mètre de hauteur sur la jambe intérieure d'une bobine. Comment la structure la reprend-elle ?

6) Pourquoi des bobines supraconductrices ? Estimer la puissance dissipée par effet Joule si les mêmes bobines étaient en cuivre (résistivité $1, 7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ ), avec une densité de courant de $5 A m m^{- 2}$ et une longueur de spire moyenne de $38 m$ . Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie. La bobine torique est le seul enroulement dont le programme fait établir le champ sans rien admettre : symétries, Ampère sur un cercle, et la question de l'extérieur se règle d'elle-même. Puis on exploite : valeurs, énergie par la densité, forces par $j \land B$ .

1) Champ orthoradial. Le plan méridien qui contient $M$ contient les courants des spires qui s'y trouvent ; avec un grand nombre de spires régulièrement réparties, la distribution est invariante par la réflexion par rapport à ce plan : c'est un plan de symétrie, et le pseudo-vecteur $B (M)$ lui est perpendiculaire : $B = B u_{θ}$ . La distribution est invariante par rotation autour de $O z$ (aux discrétisations près des $18$ bobines) : $B$ ne dépend pas de $θ$ , $B = B (r, z) u_{θ}$ .

2) Ampère, sans rien admettre. Sur le cercle $C$ d'axe $O z$ , de rayon $r$ , à la cote $z$ , orienté selon $u_{θ}$ : $\oint B \cdot d ℓ = 2 π r B (r, z) = μ_{0} I_{enl}$ .

Dans le tore ( $a < r < b$ , $∣ z ∣ < h /2$ ), le disque qu'il borde est traversé une fois par chaque spire, par sa jambe intérieure : $I_{enl} = N I$ , d'où $B = \frac{μ _{0} N I}{2 π r} .$
Pour $r < a$ , aucun courant n'est enlacé : $B = 0$ . Pour $r > b$ , ou $∣ z ∣ > h /2$ , chaque spire traverse le disque deux fois en sens contraires (ou pas du tout) : $I_{enl} = 0$ , $B = 0$ .

Contrairement au solénoïde infini, rien n'est admis : le champ extérieur nul sort du théorème lui-même. Le champ n'est pas uniforme dans la section : il décroît en $1/ r$ , plus fort du côté de l'axe ; il ne dépend pas de $z$ .

3) Les valeurs. $N I = 18 \times 134 \times 68 \times 1 0^{3} \approx 1, 64 \times 1 0^{8} A$ . À $6, 2 m$ : $B = \frac{μ _{0} N I}{2 π r} = \frac{2 \times 1 0 ^{- 7} \times 1 , 64 \times 1 0 ^{8}}{6 , 2} \approx 5, 3 T,$ la valeur nominale : le modèle torique idéal reproduit le dispositif. Le champ atteint $11, 8 T$ en $r = \frac{2 \times 1 0 ^{- 7} \times 1 , 64 \times 1 0 ^{8}}{11 , 8} \approx 2, 8 m$ : au ras de la jambe intérieure des bobines, là où les spires sont le plus serrées. Dans le plasma, il passe de $7, 8 T$ ( $4, 2 m$ ) à $4, 0 T$ ( $8, 2 m$ ) : du simple au double, ce que les physiciens des plasmas doivent prendre en compte.

4) L'énergie. Le volume compris entre $r$ et $r + d r$ vaut $2 π r h d r$ : $W = \int_{a}^{b} \frac{1}{2 μ _{0}} (\frac{μ _{0} N I}{2 π r})^{2} 2 π r h d r = \frac{μ _{0} ( N I ) ^{2} h}{4 π} ln \frac{b}{a} = 1 0^{- 7} \times (1, 64 \times 1 0^{8})^{2} \times 12 \times ln \frac{10}{3} \approx 3, 9 \times 1 0^{10} J .$ Trente-neuf gigajoules : la section rectangulaire idéalisée retrouve l'ordre de grandeur annoncé (une quarantaine de gigajoules). L'inductance de l'ensemble en série, vue sous $I = 68 kA$ , vaut $L = \frac{2 W}{I ^{2}} \approx 17 H$ . Cette énergie équivaut à celle de neuf tonnes d'explosif : si un conducteur perd sa supraconductivité, elle doit être évacuée en quelques secondes dans des résistances extérieures, sans quoi elle se dissiperait au point chaud et détruirait la bobine.

5) Les bobines écrasées vers l'axe. Pour que $B > 0$ dans le tore selon $+ u_{θ}$ , le courant de la jambe intérieure est dirigé selon $+ u_{z}$ (règle de la main droite, Ampère). La force volumique y vaut $j \land B = j u_{z} \land B u_{θ} = - j B u_{r}$ : dirigée vers l'axe. Dans la couche conductrice, Ampère appliqué entre ses deux faces donne $\frac{d B}{d r} ≃ μ_{0} j$ (la couche étant mince, on néglige la variation en $1/ r$ ), d'où, par unité de surface, $\frac{F}{S} = \int j B d r = \int_{0}^{B_{m a x}} \frac{B}{μ _{0}} d B = \frac{B _{m a x}^{2}}{2 μ _{0}} = \frac{11 , 8 ^{2}}{2 \times 4 π \times 1 0 ^{- 7}} \approx 5, 5 \times 1 0^{7} Pa,$ cinquante-cinq mégapascals, plus de cinq cents fois la pression atmosphérique. La jambe intérieure d'une bobine porte $134 \times 68 kA \approx 9, 1 \times 1 0^{6} A$ dans un champ qui vaut en moyenne $B_{m a x} /2$ : la force vaut environ $9, 1 \times 1 0^{6} \times 5, 9 \approx 5 \times 1 0^{7} N$ par mètre de hauteur, cinq mille tonnes par mètre. Les dix-huit jambes intérieures, poussées vers l'axe, s'appuient les unes sur les autres comme les voussoirs d'une voûte : c'est la structure en anneau, au centre de la machine, qui reprend l'effort.

6) Pourquoi la supraconductivité. Longueur totale de conducteur : $18 \times 134 \times 38 \approx 9, 2 \times 1 0^{4} m$ ; section : $\frac{68 \times 1 0 ^{3}}{5 \times 1 0 ^{6}} \approx 1, 4 \times 1 0^{- 2} m^{2}$ ; résistance $R = ρ \frac{L}{S} \approx 0, 11 Ω$ , d'où $P = R I^{2} \approx 0, 11 \times (68 \times 1 0^{3})^{2} \approx 5 \times 1 0^{8} W$ . Un demi-gigawatt, en permanence, rien que pour le champ toroïdal — autant que la puissance de fusion visée. Supraconductrices, refroidies à quelques kelvins, les bobines ne dissipent rien ; on ne paie que la cryogénie.

Résultat établi : le champ magnétique d'une bobine torique, $B = \frac{μ _{0} N I}{2 π r} u_{θ}$ à l'intérieur du tore, nul à l'extérieur, obtenu par les symétries, les invariances et le théorème d'Ampère sans aucune hypothèse supplémentaire ; et les forces de Laplace sur une distribution volumique de courant, $j \land B d τ$ , qui exercent sur une couche de courant traversée par un champ allant de $0$ à $B$ la pression magnétique $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ .

Ce que le problème installe. Le théorème d'Ampère dans sa forme la plus nette (rien à admettre) ; un champ non uniforme mais calculable ; l'énergie par la densité $B^{2} /2 μ_{0}$ ; la force de Laplace volumique et la pression magnétique, qui dimensionnent la structure ; et les ordres de grandeur qui justifient un choix technologique majeur.

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