Barre freinée : régime transitoire complet

La seule force horizontale est la force de Laplace de freinage $F=-\frac{B^2{\ell }^2}{R}v$. La loi de la quantité de mouvement donne

$$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\frac{B^2{\ell }^2}{R}v\Rightarrow v(t)=v_0{\mathrm{e}}^{-t/\tau },\tau =\frac{mR}{B^2{\ell }^2}.$$

La barre ralentit exponentiellement ; l'énergie cinétique initiale $\frac{1}{2}m{v}_0^2$ est intégralement dissipée par effet Joule dans $R$ : ${\int }_0^{\infty }R{i}^2\mathrm{d}t={\int }_0^{\infty }\frac{B^2{\ell }^2{v}^2}{R}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}m{v}_0^2$. C'est un frein sans contact.