Courants de Foucault : du noyau massif aux tôles

La stratégie. La circulation du champ électrique sur un contour fixe vaut l'opposé de la dérivée du flux qu'il enlace : avec un contour adapté à la géométrie, elle donne le champ induit en une ligne ; la loi d'Ohm locale donne les courants, l'effet Joule les pertes. La géométrie du conducteur, et elle seule, fixe la taille des boucles de courant.

1) Le champ induit et les boucles de courant. Sur le cercle de rayon $r$ d'axe $Oz$, orienté par ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ (normale ${\overrightarrow{u}}_z$), le flux enlacé vaut $\pi r^2{B}_0\cos \omega t$ : $$2\pi rE=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\pi r^2{B}_0\cos \omega t\right)=\pi r^2{B}_0\omega \sin \omega t⟹E(r,t)=\frac{r}{2}{B}_0\omega \sin \omega t.$$ Les courants $\overrightarrow{j}=\gamma \overrightarrow{E}$ forment des boucles circulaires coaxiales, dans des plans perpendiculaires au champ, d'autant plus intenses qu'on s'éloigne de l'axe ; leur sens s'inverse à chaque demi-période, et, par la loi de Lenz, le champ qu'ils créent s'oppose à la variation de $\overrightarrow{B}$.

2) La puissance dissipée. La puissance volumique vaut $\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}=\gamma E^2=\gamma \frac{r^2}{4}{B}_0^2{\omega }^2{\sin }^2\omega t$. Sur le cylindre, avec le volume $2\pi rh\mathrm{d}r$ entre $r$ et $r+\mathrm{d}r$, et $⟨{\sin }^2\omega t⟩=\frac{1}{2}$ : $$⟨P⟩={\int }_0^a\gamma \frac{r^2}{4}{B}_0^2{\omega }^2\frac{1}{2}2\pi rh\mathrm{d}r=\frac{\pi \gamma h{a}^4{\omega }^2{B}_0^2}{16},\frac{⟨P⟩}{\pi a^{2}h}=\frac{\gamma a^2{\omega }^2{B}_0^2}{16}.$$ Avec $\omega =2\pi \times 50=314\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $$\frac{⟨P⟩}{V}=\frac{2,0\times 10^6\times (2,0\times 10^{-2}{)}^2\times 314^2\times 1,0^2}{16}\approx 4,9\times 10^6\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-3},$$ soit $\frac{4,9\times 10^6}{7,65\times 10^3}\approx 6,5\times 10^2\mathrm{W}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ : un noyau de dix kilogrammes dissiperait six kilowatts. Inacceptable. La puissance volumique croît comme $a^2$ : ce sont les grandes boucles de courant qui coûtent cher.

3) Les tôles. Dans le plan de la tôle perpendiculaire au champ, le rectangle de largeur $2x$ (de $-x$ à $x$) et de longueur $L$ enlace le flux $2xL{B}_0\cos \omega t$. Le champ $E(x){\overrightarrow{u}}_y$ est impair en $x$ ; sur les deux grands côtés, la circulation vaut $2E(x)L$, sur les petits elle est négligeable ($L\gg e$) : $$2E(x)L=2xL{B}_0\omega \sin \omega t⟹E(x,t)=x{B}_0\omega \sin \omega t.$$ La puissance volumique moyenne vaut $\frac{\gamma {\omega }^2{B}_0^2}{2}⟨x^2⟩$, avec $⟨x^2⟩=\frac{1}{e}{\int }_{-e/2}^{e/2}{x}^2\mathrm{d}x=\frac{e^2}{12}$ : $$\frac{⟨P⟩}{V}=\frac{\gamma e^2{\omega }^2{B}_0^2}{24}=\frac{2,0\times 10^6\times (3,5\times 10^{-4}{)}^2\times 314^2}{24}\approx 1,0\times 10^3\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-3},$$ soit $0,13\mathrm{W}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$. Le facteur de réduction vaut $\frac{a^2/16}{e^2/24}=1,5{\left(\frac{a}{e}\right)}^2\approx 4,9\times 10^3$. Les isolants entre tôles coupent les grandes boucles : chaque courant doit faire demi-tour dans l'épaisseur d'une tôle, et la puissance volumique, qui varie comme le carré de la taille des boucles, s'effondre.

4) Le champ propre, et le second bénéfice du feuilletage. $\delta =\sqrt{\frac{2}{4\pi \times 10^{-7}\times 10^3\times 2,0\times 10^6\times 314}}\approx 1,6\mathrm{mm}$. Pour le noyau massif, $a=20\mathrm{mm}\gg \delta$ : l'hypothèse est fausse. Les courants induits sont si intenses que leur champ propre annule presque le champ appliqué au cœur du noyau, qui ne s'aimante plus que sur une peau de l'ordre de $\delta$ ; le calcul de la question 2 surestime les pertes, mais le noyau devient inutile. Pour les tôles, $e=0,35\mathrm{mm}<\delta$ : l'hypothèse est justifiée, le champ pénètre toute l'épaisseur. Le feuilletage a donc deux effets : il réduit les pertes par courants de Foucault, et il laisse le flux traverser tout le noyau.

5) La plaque à induction. Là, les pertes par courants de Foucault sont le but : on veut chauffer le fond de la casserole, pas le transformer en tôles. La puissance volumique croît comme ${\omega }^2$ (à champ propre négligé) : passer de $50\mathrm{Hz}$ à $25\mathrm{kHz}$ la multiplie par $500^2$ à champ égal, ce qui permet de chauffer fort avec un champ modéré. À ces fréquences, $\delta$ devient très petite dans un acier ferromagnétique : les courants se concentrent sous la surface du fond, ce qui est exactement ce que l'on veut.

Ce que l'exercice installe. La circulation de $\overrightarrow{E}$ sur un contour fixe donne le champ induit dans un conducteur massif ; la géométrie des courants de Foucault (boucles dans les plans perpendiculaires au champ) ; la puissance Joule en négligeant le champ propre, en $\gamma {\omega }^2{B}_0^2\times (\text{taille}{)}^2$ ; le feuilletage, qui réduit les pertes d'un facteur $1,5(a/e{)}^2$ ; et la vérification de l'hypothèse par un rapport d'échelles.