Énergie magnétique : établir $u_m$ sur le solénoïde, s'en servir, la comparer à $u_e$

La stratégie. L'énergie d'une bobine, $\frac{1}{2}L{i}^2$, vient de la puissance reçue ; sur le solénoïde, elle se réécrit comme un volume multiplié par une densité qui ne dépend que du champ. Réciproquement, intégrer cette densité donne l'inductance de n'importe quelle géométrie.

1) La densité d'énergie. $B={\mu }_0\frac{N}{\ell }i$ dans le solénoïde. Le flux propre est celui des $N$ spires : ${\Phi }_p=NBS={\mu }_0\frac{N^{2}S}{\ell }i$, d'où $L={\mu }_0\frac{N^{2}S}{\ell }$. L'énergie vaut $$\frac{1}{2}L{i}^2=\frac{1}{2}{\mu }_0\frac{N^{2}S}{\ell }{i}^2=\frac{1}{2{\mu }_0}{\left({\mu }_0\frac{N}{\ell }i\right)}^{2}S\ell =\frac{B^2}{2{\mu }_0}\times (S\ell ).$$ Le volume $S\ell$ est celui où règne le champ (il est nul dehors) : l'énergie est répartie dans le champ, avec la densité $u_m=\frac{B^2}{2{\mu }_0}$, établie ici sur le solénoïde et dont le cours affirme la généralité.

2) Valeurs. $L=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 10^6\times 5,0\times 10^{-4}}{0,20}\approx 3,1\mathrm{mH}$ ; $B=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 1000\times 2,0}{0,20}\approx 12,6\mathrm{mT}$ ; $u_m=\frac{B^2}{2{\mu }_0}\approx 63\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$ ; dans $S\ell =1,0\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^3$, $W\approx 6,3\mathrm{mJ}$, qui est bien $\frac{1}{2}L{i}^2=\frac{1}{2}\times 3,14\times 10^{-3}\times 4$.

3) Deux chemins pour une inductance. Par l'énergie : le volume entre $r$ et $r+\mathrm{d}r$ vaut $2\pi rh\mathrm{d}r$, et $$W={\int }_a^b\frac{1}{2{\mu }_0}{\left(\frac{{\mu }_{0}Ni}{2\pi r}\right)}^{2}2\pi rh\mathrm{d}r=\frac{{\mu }_0{N}^{2}h}{4\pi }\ln \frac{b}{a}{i}^2=\frac{1}{2}L{i}^2⟹L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}h}{2\pi }\ln \frac{b}{a}.$$ Par le flux : à travers une spire, ${\int }_a^b\frac{{\mu }_{0}Ni}{2\pi r}h\mathrm{d}r=\frac{{\mu }_{0}Nih}{2\pi }\ln \frac{b}{a}$ ; à travers les $N$ spires, $N$ fois plus, soit $Li$ avec le même $L$. Application : $L=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 500^2\times 0,020}{2\pi }\ln 1,4\approx 0,34\mathrm{mH}$. La méthode de l'énergie est la plus sûre quand le flux est délicat à définir (champ dans le conducteur lui-même, par exemple).

4) Dix mille fois plus d'énergie. À $1\mathrm{T}$ : $u_m=\frac{1}{2\times 4\pi \times 10^{-7}}\approx 4,0\times 10^5\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$. Dans l'air, le champ électrique est plafonné à $3,0\times 10^6\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ : $u_e\le \frac{1}{2}\times 8,85\times 10^{-12}\times 9,0\times 10^{12}\approx 40\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$. Le rapport est de l'ordre de $10^4$. Or les forces et les couples d'une machine sont de l'ordre de la densité d'énergie (une pression, en $\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}=\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-2}$) multipliée par une surface : à volume égal, une machine électrostatique serait dix mille fois moins puissante. C'est pourquoi moteurs, alternateurs et transformateurs sont magnétiques, et qu'on ne rencontre l'actionnement électrostatique qu'aux échelles micrométriques.

Ce que l'exercice installe. La densité volumique d'énergie magnétique établie sur le solénoïde long ; l'inductance par l'énergie ou par le flux, deux chemins qui doivent se rejoindre ; et un ordre de grandeur qui explique toute l'électrotechnique.