La chute freinée d'un cadre : une vitesse limite qui ne dépend que du métal

La stratégie. Le circuit est mobile dans un champ permanent : la force électromotrice se calcule par la loi de Faraday, en dérivant le flux. Le courant subit la force de Laplace, qui freine (Lenz). L'équation mécanique est du premier ordre : une vitesse limite et un temps caractéristique.

1) Flux et courant. Orientons le cadre de sorte que sa normale soit celle de $\overrightarrow{B}$ (rentrant dans la figure) : le flux vaut $\Phi =Bax$, et $$e=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}=-Bav,i=\frac{e}{R}=-\frac{Bav}{R}.$$ Le signe moins dit que le courant circule dans le sens opposé à l'orientation choisie : il crée un flux propre qui s'oppose à l'augmentation du flux, conformément à la loi de Lenz.

2) La force de Laplace. Les deux côtés verticaux, parcourus par des courants opposés et plongés de la même longueur $x$ dans le même champ, subissent des forces opposées : leur somme est nulle. Le côté supérieur est hors du champ. Seul compte le côté inférieur, de longueur $a$, parcouru par un courant d'intensité $|i|$ perpendiculaire au champ : la force a pour norme $|i|aB=\frac{B^2{a}^{2}v}{R}$, et elle est dirigée vers le haut — elle s'oppose à la cause du phénomène, la chute.

3) La vitesse limite. Tant que le cadre entre : $$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=mg-\frac{B^2{a}^2}{R}v,v_{\lim }=\frac{mgR}{B^2{a}^2},\tau =\frac{mR}{B^2{a}^2}=\frac{v_{\lim }}{g}.$$ Or $m={\rho }_{m}4as$ et $R={\rho }_e\frac{4a}{s}$, d'où $mR=16{\rho }_m{\rho }_e{a}^2$, et $$v_{\lim }=\frac{16{\rho }_m{\rho }_{e}g}{B^2}.$$ La taille et la section ont disparu : un cadre deux fois plus grand est deux fois plus lourd et deux fois plus résistant, mais le freinage, en $a^2/R$, croît dans le même rapport que le poids. Seuls comptent le matériau, par le produit ${\rho }_m{\rho }_e$, et le champ.

4) Le cuivre ou l'aluminium. Cuivre : $v_{\lim }=\frac{16\times 8,96\times 10^3\times 1,7\times 10^{-8}\times 9,81}{0,50^2}\approx 9,6\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; aluminium : $\frac{16\times 2,70\times 10^3\times 2,65\times 10^{-8}\times 9,81}{0,25}\approx 4,5\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$. L'aluminium, pourtant moins bon conducteur, freine mieux, parce qu'il est plus de trois fois plus léger : c'est le produit ${\rho }_m{\rho }_e$ qui compte, et c'est pourquoi les freins à courants de Foucault utilisent souvent de l'aluminium. Temps caractéristique : $\tau =v_{\lim }/g\approx 10\mathrm{ms}$ pour le cuivre, $5\mathrm{ms}$ pour l'aluminium.

5) Le mouvement complet. Lâché à $5,0\mathrm{cm}$, le cadre arrive à $\sqrt{2gh}\approx 0,99\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, dix fois la vitesse limite. Dès que son côté inférieur entre dans le champ, il est violemment freiné : sa vitesse décroît exponentiellement vers $v_{\lim }$ avec le temps caractéristique $\tau =10\mathrm{ms}$, sur une distance de l'ordre de $(v_0-v_{\lim })\tau \approx 9\mathrm{mm}$, petite devant $a$. Il entre ensuite à la vitesse constante de $9,6\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$. Une fois entièrement dans le champ, le flux ne varie plus : plus de courant, plus de force, chute libre. En sortant par le bas, le flux diminue : le freinage reprend. En régime de vitesse limite, la puissance du poids, $mg{v}_{\lim }$, est exactement la puissance dissipée par effet Joule, $R{i}^2=\frac{B^2{a}^2{v}_{\lim }^2}{R}$ : l'énergie potentielle de pesanteur est convertie en chaleur, à travers le champ.

Ce que l'exercice installe. La loi de Faraday pour un circuit mobile, le sens du courant par Lenz, la force de Laplace qui freine ; une équation du premier ordre, une vitesse limite et un temps caractéristique ; une loi d'échelle qui élimine la géométrie ($v_{\lim }=16{\rho }_m{\rho }_{e}g/B^2$) ; le bilan de puissance de la conversion.