Le condensateur en charge : courant de déplacement, conservation de la charge et domaine de l'ARQS

La stratégie. La forme intégrale de Maxwell-Ampère vaut pour toute surface qui s'appuie sur le contour : l'écrire sur deux surfaces est le test qui impose le courant de déplacement. La symétrie de révolution réduit ensuite Maxwell-Ampère intégrale à une ligne ; deux rapports chiffrent enfin ce que l'ARQS néglige.

1) Le paradoxe et sa résolution. Avec ${\oint }_{\mathcal{C}}\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enlaceˊ}}$, $S_1$ donne $i$ et $S_2$, qu'aucun conducteur ne traverse, donne $0$ : contradiction dès que $i\ne 0$. Avec le terme de Maxwell, $S_2$ est traversée par le courant de déplacement, sur l'aire $\pi R^2$ : $$I_d={\epsilon }_0\pi R^2\frac{1}{d}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=i,C=\frac{{\epsilon }_0\pi R^2}{d}:$$ le courant de déplacement prolonge le courant de conduction. La divergence de Maxwell-Ampère, avec $\mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B})=0$ et Maxwell-Gauss, donne $$0={\mu }_0\mathrm{div}\overrightarrow{j}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)={\mu }_0\left(\mathrm{div}\overrightarrow{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}\right):$$ la conservation de la charge est une conséquence des équations de Maxwell ; sans le terme de Maxwell, on aurait $\mathrm{div}\overrightarrow{j}=0$ et l'armature ne pourrait pas se charger. Vérification : $S_1$ et $S_2$ forment une surface fermée qui contient l'armature ; il y entre $i$ par $S_1$, il n'en sort aucun courant de conduction, et la conservation intégrale donne $\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=i$.

2) Le champ magnétique. Sur un cercle de rayon $r$ du plan médian, $2\pi rB$ vaut ${\mu }_0$ fois le courant de déplacement enlacé, $i\frac{r^2}{R^2}$ si $r<R$, $i$ si $r>R$ : $$B=\frac{{\mu }_{0}ir}{2\pi R^2}(r<R),B=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi r}(r>R).$$ Au-delà du bord, c'est exactement le champ d'un fil ; le profil complet est celui d'un fil épais parcouru par un courant uniforme : les résultats de la magnétostatique s'étendent, instant par instant, au régime variable.

3) Valeurs. $C=\frac{8,854\times 10^{-12}\times \pi \times 0,10^2}{1,00\times 10^{-3}}\approx 278\mathrm{pF}$, $I_0=C\omega U_0\approx 0,175\mathrm{A}$, et $B_{\max }(R)=\frac{{\mu }_0{I}_0}{2\pi R}\approx 0,35\mu \mathrm{T}$ : $0,74\%$ du champ terrestre, à $1\mathrm{MHz}$. D'où la difficulté, longtemps, de mettre directement en évidence le champ du courant de déplacement.

4) Ce que l'ARQS néglige. a) Entre les armatures, $B=\frac{r}{2c^2}\frac{\partial E}{\partial t}$, d'amplitude $\frac{\omega E_{0}r}{2c^2}$ avec $E_0=U_0/d$. En intégrant les densités d'énergie sur le cylindre de rayon $R$ et de hauteur $d$ : $$W_m={\int }_0^R\frac{1}{2{\mu }_0}{\left(\frac{\omega E_{0}r}{2c^2}\right)}^{2}2\pi rd\mathrm{d}r=\frac{\pi d{\omega }^2{E}_0^2{R}^4}{16{\mu }_0{c}^4},W_e=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{2}\pi R^{2}d,$$ d'où $$\frac{W_m}{W_e}=\frac{{\omega }^2{R}^2}{8{\mu }_0{\epsilon }_0{c}^4}=\frac{1}{8}{\left(\frac{\omega R}{c}\right)}^2.$$ Ici $\frac{\omega R}{c}\approx 2,1\times 10^{-3}$ et $\frac{W_m}{W_e}\approx 5,5\times 10^{-7}$ : le champ magnétique induit est une petite correction, et le champ électrique qu'il induit à son tour corrige l'uniformité de $\overrightarrow{E}$ d'une quantité relative du même ordre. Le modèle est cohérent tant que $\omega R\ll c$, c'est-à-dire tant que la taille du dispositif est petite devant la longueur d'onde $\lambda =2\pi c/\omega$ : c'est le critère de l'ARQS. b) Dans le cuivre, $\frac{j_d}{j}=\frac{{\epsilon }_0\omega }{\gamma }$ : $4,7\times 10^{-17}$ à $50\mathrm{Hz}$, $9,3\times 10^{-10}$ à $1\mathrm{GHz}$ ; il faudrait $\omega \approx \gamma /{\epsilon }_0\approx 6,7\times 10^{18}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ pour les égaler. Le courant de déplacement est tout entre les armatures, et rien dans un métal : dans les conducteurs, l'ARQS magnétique (courant de déplacement négligé) vaut à toute fréquence usuelle ; elle n'est mise en défaut que par la taille du dispositif devant la longueur d'onde. Cas limite : $\omega \to 0$, $\overrightarrow{B}$ et le flux d'énergie s'annulent, on retrouve le condensateur de l'électrostatique.

Ce que l'exercice installe. Maxwell-Ampère sur deux surfaces bordées par le même contour : sans ${\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$, Ampère se contredit et la charge ne se conserve pas. Le courant de déplacement crée un champ magnétique comme un courant réel, et les expressions de la magnétostatique (fil, fil épais) restent valables à chaque instant. Et un réflexe : chiffrer ce qu'on néglige, $(\omega R/c{)}^2$ et ${\epsilon }_0\omega /\gamma$ — c'est le domaine de l'ARQS.