électromagnétisme (PSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Problème : la recharge sans fil, deux bobines couplées, leur énergie et l'inégalité $M^{2} \leq L_{1} L_{2}$

Électromagnétisme dans l'ARQS : induction · F. Inductance mutuelle : circuits couplés · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un chargeur de téléphone sans fil comporte une bobine émettrice plate, de $N_{1} = 10$ spires de rayon $R_{1} = 2, 5 cm$ , parcourue par un courant sinusoïdal de fréquence $f = 140 kHz$ ; le téléphone, posé dessus, contient une bobine réceptrice de $N_{2} = 10$ spires de rayon $R_{2} = 1, 0 cm$ , coaxiale, à la distance $z$ de la première. Données de l'énoncé : inductances propres mesurées $L_{1} = 12, 5 μ H$ et $L_{2} = 3, 9 μ H$ . On admet que le champ d'une spire de rayon $R$ parcourue par $i$ , sur son axe, à la distance $z$ de son centre, vaut $\frac{μ _{0} i}{2} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$ , et l'on assimile les spires de chaque bobine à des spires confondues.

1) Justifier que l'on peut utiliser, à chaque instant, les expressions du champ magnétique obtenues en régime stationnaire.

2) En considérant le champ créé par la bobine émettrice comme uniforme sur la petite bobine réceptrice et égal à sa valeur sur l'axe, exprimer le flux $Φ_{2 \leftarrow 1}$ et l'inductance mutuelle $M (z)$ . Calculer $M$ pour $z = 0$ , $5 mm$ et $2, 0 cm$ .

3) Les deux bobines, de résistances négligées, sont soumises aux tensions $u_{1}$ et $u_{2}$ (convention récepteur). En écrivant la puissance totale qu'elles reçoivent, établir l'expression de l'énergie magnétique $W (i_{1}, i_{2})$ des deux bobines couplées.

4) Montrer que, $W$ étant positive pour tout couple $(i_{1}, i_{2})$ , on a $M^{2} \leq L_{1} L_{2}$ . Calculer le coefficient de couplage $k = \frac{∣ M ∣}{L _{1} L _{2}}$ pour les trois positions.

5) Le sens physique de $k$ . Deux solénoïdes longs, coaxiaux, de même longueur $ℓ$ , l'un de section $S_{1}$ et de $n_{1}$ spires par mètre, logé dans l'autre, de section $S_{2} > S_{1}$ et de $n_{2}$ spires par mètre. Calculer $L_{1}$ , $L_{2}$ et $M$ ; montrer que $k^{2} = S_{1} / S_{2}$ . Interpréter : qu'est-ce que le couplage parfait ? qu'est-ce que le flux de fuite ?

6) Pour $z = 5 mm$ et un courant émetteur d'amplitude $1, 0 A$ , calculer l'amplitude de la force électromotrice induite dans la bobine réceptrice à vide. Comment mesurer $M$ avec un inductancemètre ? Pourquoi les chargeurs réels placent-ils une plaque de ferrite derrière chaque bobine ? Énoncer les résultats établis.

Corrigé

La stratégie. Tout passe par les flux : le flux croisé définit $M$ ; la loi de Faraday donne les tensions ; la puissance totale reçue est la dérivée d'une fonction des courants, l'énergie magnétique ; sa positivité, écrite comme une forme quadratique, borne $M$ .

1) L'ARQS. À $140 kHz$ , la longueur d'onde vaut $λ = c / f \approx 2, 1 km$ , à comparer à quelques centimètres : le temps de propagation à travers le dispositif est négligeable devant la période. On est dans l'ARQS magnétique : le courant de déplacement est négligeable devant les courants des bobines, et le champ créé à chaque instant par $i_{1} (t)$ est celui que créerait un courant permanent de même valeur.

2) L'inductance mutuelle. Les $N_{1}$ spires émettrices créent sur l'axe, à la distance $z$ , le champ $\frac{μ _{0} N _{1} i _{1}}{2} \frac{R _{1}^{2}}{( R _{1}^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$ , supposé uniforme sur l'aire $π R_{2}^{2}$ de chacune des $N_{2}$ spires réceptrices : $Φ_{2 \leftarrow 1} = N_{2} π R_{2}^{2} \frac{μ _{0} N _{1} i _{1}}{2} \frac{R _{1}^{2}}{( R _{1}^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} = M i_{1}, M (z) = \frac{μ _{0} N _{1} N _{2} π R _{1}^{2} R _{2}^{2}}{2 ( R _{1}^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} .$ Le cours affirme que le même $M$ décrit le flux de la réceptrice à travers l'émettrice, ce qu'il serait bien plus difficile de calculer directement. Valeurs : $M (0) = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 100 \times π \times ( 2 , 5 \times 1 0 ^{- 2} ) ^{2} ( 1 , 0 \times 1 0 ^{- 2} ) ^{2}}{2 \times ( 2 , 5 \times 1 0 ^{- 2} ) ^{3}} \approx 0, 79 μ H$ ; $M (5 mm) \approx 0, 74 μ H$ ; $M (2 cm) \approx 0, 38 μ H$ . Le couplage chute dès que le téléphone s'écarte d'une distance comparable au rayon de l'émettrice.

3) L'énergie de deux bobines couplées. Les flux totaux sont $Φ_{1} = L_{1} i_{1} + M i_{2}$ et $Φ_{2} = M i_{1} + L_{2} i_{2}$ ; en convention récepteur, $u_{1} = \frac{d Φ _{1}}{d t}$ et $u_{2} = \frac{d Φ _{2}}{d t}$ (résistances nulles). La puissance totale reçue vaut $u_{1} i_{1} + u_{2} i_{2} = L_{1} i_{1} \frac{d i _{1}}{d t} + M (i_{1} \frac{d i _{2}}{d t} + i_{2} \frac{d i _{1}}{d t}) + L_{2} i_{2} \frac{d i _{2}}{d t} = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} L_{1} i_{1}^{2} + M i_{1} i_{2} + \frac{1}{2} L_{2} i_{2}^{2}) .$ Rien n'est dissipé : la puissance reçue est stockée, et $W (i_{1}, i_{2}) = \frac{1}{2} L_{1} i_{1}^{2} + M i_{1} i_{2} + \frac{1}{2} L_{2} i_{2}^{2} .$ Le terme croisé est l'énergie d'interaction ; il est positif quand les flux mutuels s'ajoutent aux flux propres, négatif sinon.

4) L'inégalité $M^{2} \leq L_{1} L_{2}$ . $W$ est l'énergie du champ, $∭ \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} d τ \geq 0$ , pour tout couple de courants. Écrivons $W = \frac{1}{2} L_{1} (i_{1} + \frac{M}{L _{1}} i_{2})^{2} + \frac{1}{2} (L_{2} - \frac{M ^{2}}{L _{1}}) i_{2}^{2} .$ En choisissant $i_{1} = - \frac{M}{L _{1}} i_{2}$ , le premier terme s'annule, et $W \geq 0$ impose $L_{2} - \frac{M ^{2}}{L _{1}} \geq 0$ , soit $M^{2} \leq L_{1} L_{2} .$ Coefficients de couplage, avec $L_{1} L_{2} = 12, 5 \times 3, 9 \approx 7, 0 μ H$ : $k \approx 0, 11$ en $z = 0$ , $0, 11$ à $5 mm$ , $0, 05$ à $2 cm$ . L'inégalité est largement satisfaite : le couplage est très partiel, la plus grande partie du flux de l'émettrice ne traverse pas la petite bobine.

5) Le couplage parfait. Le solénoïde extérieur crée dans toute sa section le champ $μ_{0} n_{2} i_{2}$ ; son flux à travers les $n_{1} ℓ$ spires intérieures vaut $n_{1} ℓ S_{1} μ_{0} n_{2} i_{2}$ , d'où $M = μ_{0} n_{1} n_{2} S_{1} ℓ$ . Par ailleurs $L_{1} = μ_{0} n_{1}^{2} S_{1} ℓ$ et $L_{2} = μ_{0} n_{2}^{2} S_{2} ℓ$ , d'où $k^{2} = \frac{M ^{2}}{L _{1} L _{2}} = \frac{μ _{0}^{2} n _{1}^{2} n _{2}^{2} S _{1}^{2} ℓ ^{2}}{μ _{0}^{2} n _{1}^{2} n _{2}^{2} S _{1} S _{2} ℓ ^{2}} = \frac{S _{1}}{S _{2}} \leq 1.$ Le couplage est parfait ( $k = 1$ ) quand les deux bobines embrassent exactement le même flux par spire ( $S_{1} = S_{2}$ ) ; sinon, la partie du flux de la bobine extérieure qui passe entre les deux enroulements, sans traverser la bobine intérieure, est le flux de fuite. C'est ce flux qu'un transformateur cherche à supprimer, en enroulant les deux bobinages sur un même noyau.

6) Ordres de grandeur et mesure. La force électromotrice à vide a pour amplitude $M ω I_{1} = 0, 74 \times 1 0^{- 6} \times 2 π \times 140 \times 1 0^{3} \times 1, 0 \approx 0, 65 V$ . Mesure de $M$ : on branche les deux bobines en série, dans un sens puis dans l'autre ; l'inductance de l'ensemble vaut $L_{\pm} = L_{1} + L_{2} \pm 2 M$ (les flux mutuels s'ajoutent ou se retranchent), d'où $M = \frac{L _{+} - L _{-}}{4}$ ; ici $L_{+} \approx 17, 9 μ H$ et $L_{-} \approx 14, 9 μ H$ . La ferrite : un matériau ferromagnétique doux, placé derrière les bobines, canalise le flux de l'émettrice vers la réceptrice et le confine (il protège aussi l'électronique du téléphone) ; le couplage des chargeurs réels monte ainsi vers $0, 3$ à $0, 7$ — c'est l'objet du chapitre suivant.

Résultats établis : l'énergie magnétique de deux bobines couplées, $W = \frac{1}{2} L_{1} i_{1}^{2} + M i_{1} i_{2} + \frac{1}{2} L_{2} i_{2}^{2}$ , obtenue comme la fonction des courants dont la dérivée est la puissance qu'elles reçoivent, et l'inégalité $M^{2} \leq L_{1} L_{2}$ , conséquence de la positivité de cette énergie ; le coefficient de couplage $k = ∣ M ∣ / L_{1} L_{2}$ vaut $1$ pour un couplage parfait, sans flux de fuite.

Ce que le problème installe. L'ARQS justifiée par un rapport d'échelles ; l'inductance mutuelle par un flux croisé ; l'énergie magnétique par la puissance reçue ; une inégalité tirée de la positivité d'une forme quadratique ; et le sens physique du couplage : le flux de fuite.

Exercices semblables

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Problème : la recharge sans fil, deux bobines couplées, leur énergie et l'inégalité M2≤L1​L2​

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables

Problème : la recharge sans fil, deux bobines couplées, leur énergie et l'inégalité $M^{2} \leq L_{1} L_{2}$