électromagnétisme (PSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Que mesure un voltmètre ? Le champ induit n'a pas de potentiel

Électromagnétisme dans l'ARQS : induction · B. Loi de Faraday et loi de Lenz · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un long solénoïde, d'axe perpendiculaire à la figure, crée un champ magnétique nul à l'extérieur ; son flux varie lentement, de sorte que la force électromotrice induite dans toute boucle qui l'entoure une fois dans le sens trigonométrique vaut $e = 1, 00 V$ . Une boucle l'entoure : résistance $R_{1} = 100 Ω$ à gauche, $R_{2} = 900 Ω$ à droite, reliées en $A$ (en haut) et $D$ (en bas) par des fils de résistance négligeable. Deux voltmètres idéaux $V_{1}$ et $V_{2}$ ont leur borne $+$ en $A$ et leur borne COM en $D$ ; les fils de $V_{1}$ passent à gauche du solénoïde, ceux de $V_{2}$ à droite. On admet qu'un voltmètre idéal indique la circulation du champ électrique de sa borne $+$ à sa borne COM le long de son circuit interne.

1) Déterminer le courant $I$ et son sens. Où le champ électrique est-il non nul le long de la boucle ?

2) Calculer la circulation de $E$ de $A$ à $D$ par $R_{1}$ , puis par $R_{2}$ . Peut-on parler de « la tension $U_{A D}$ » ?

3) En appliquant la loi de Faraday au circuit fermé formé par $V_{1}$ , ses fils et la branche de $R_{1}$ , prévoir l'indication de $V_{1}$ ; de même pour $V_{2}$ .

4) Un fil de $V_{1}$ fait un tour complet autour du solénoïde : que peut indiquer $V_{1}$ ? La loi des mailles est-elle vérifiée pour la maille formée par les deux voltmètres ?

5) À l'extérieur du solénoïde, que vaut $rot E$ ? Pourquoi $E$ n'y dérive-t-il pourtant d'aucun potentiel ? Que se passe-t-il si le flux cesse de varier ?

Corrigé

La stratégie. Tout repose sur la loi de Faraday, forme intégrale de Maxwell-Faraday : la circulation de $E$ sur un contour fermé vaut $\pm e$ s'il enlace le solénoïde, $0$ sinon (le champ magnétique est nul au-dehors). Un voltmètre mesure une circulation le long d'un chemin : il suffit de voir quel contour fermé ses fils forment avec le circuit.

1) Le courant. Sur la boucle, $\oint E \cdot d ℓ = e$ . Le champ est nul dans les fils, de résistance négligeable ; dans chaque résistance parcourue dans le sens du courant, la circulation vaut $R I$ . Donc $e = (R_{1} + R_{2}) I$ et $I = 1, 00 mA$ , dans le sens trigonométrique : de $A$ vers $D$ par $R_{1}$ , de $D$ vers $A$ par $R_{2}$ . Le champ est concentré dans les résistances : le champ induit par le solénoïde seul existerait partout, mais des charges s'accumulent à la surface des conducteurs et l'annulent dans les fils.

2) Deux chemins, deux circulations. $\int_{A \to D, par R_{1}} E \cdot d ℓ = + R_{1} I = + 0, 10 V, \int_{A \to D, par R_{2}} E \cdot d ℓ = - R_{2} I = - 0, 90 V .$ Leur différence, $1, 00 V = e$ , est la circulation sur la boucle, qui enlace le flux. En électrostatique, la circulation de $A$ à $D$ ne dépend pas du chemin et vaut $V_{A} - V_{D}$ ; ici elle en dépend : « la tension $U_{A D}$ » n'est pas définie tant qu'on ne dit pas par où l'on passe.

3) Les deux lectures. Le circuit $Γ_{1}$ (voltmètre $V_{1}$ , ses fils, branche de $R_{1}$ ) n'enlace pas le solénoïde : $\oint_{Γ_{1}} E \cdot d ℓ = 0$ , et la circulation à travers $V_{1}$ égale celle par $R_{1}$ . Le champ étant nul dans ses fils, toute cette circulation se fait dans l'appareil : $V_{1}$ indique $+ 0, 10 V$ . De même, $Γ_{2}$ n'enlace pas le solénoïde, et $V_{2}$ indique $- 0, 90 V$ . Deux voltmètres idéaux, branchés aux mêmes points, indiquent $0, 10 V$ et $- 0, 90 V$ , et aucun n'est déréglé.

4) La lecture dépend des fils. Si un fil de $V_{1}$ fait le tour du solénoïde, $Γ_{1}$ enlace le flux et sa circulation vaut $\pm e$ : $V_{1}$ indique $0, 10 - 1, 00 = - 0, 90 V$ ou $0, 10 + 1, 00 = 1, 10 V$ selon le sens du tour. Un voltmètre ne mesure pas une propriété des points $A$ et $D$ , mais la circulation le long de ses propres fils. La maille des deux voltmètres enlace le solénoïde : $V_{1} - V_{2} = 1, 00 V \neq = 0$ . La loi des mailles écrite avec des tensions est en défaut pour une maille qui enlace un flux variable ; elle redevient juste si l'on y fait figurer la force électromotrice induite, comme en électrocinétique pour une bobine. C'est une expérience classique de cours (Romer, 1982).

5) Rotationnel nul, et pourtant pas de potentiel. À l'extérieur, $\frac{\partial B}{\partial t} = 0$ , donc $rot E = 0$ en tout point. Mais un contour qui fait le tour du solénoïde ne peut être réduit à un point sans le traverser, et sa circulation vaut $e \neq = 0$ : un potentiel devrait reprendre sa valeur après un tour, il n'en existe donc pas. C'est la situation du champ magnétique autour d'un fil (rotationnel nul, circulation $μ_{0} I$ ). Cas limite statique : si $Φ$ est constant, $e = 0$ , $I = 0$ , les deux voltmètres indiquent $0$ et la circulation ne dépend plus du chemin. En pratique, on mesure un circuit inductif avec des fils torsadés, qui n'enlacent aucun flux.

Ce que l'exercice installe. En régime variable, $E$ n'est plus à circulation conservative : la circulation entre deux points dépend du chemin dès que les chemins enlacent un flux variable, et un voltmètre mesure la circulation le long de ses fils. Le réflexe : avant d'écrire une tension, dessiner le contour fermé et se demander s'il enlace un flux.

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