Deux cycles pour un même matériau : $(H,M)$ et $(H,B)$, doux ou dur

La stratégie. Tout découle de $B={\mu }_0(H+M)$ : à $M$ fixée, $B$ est une droite de pente ${\mu }_0$ en fonction de $H$. Le cycle $(H,B)$ est le cycle $(H,M)$ « cisaillé » par le terme ${\mu }_{0}H$, ce qui ne compte que si $H$ est comparable à $M$.

1) L'aimant : deux coercivités. Le cycle $(H,M)$ est un rectangle : $M=+M_s$ tant que $H>-H_{cJ}$, puis $M=-M_s$ ; il revient à $+M_s$ pour $H>H_{cJ}$. Sur la branche $M=+M_s$, $B={\mu }_{0}H+{\mu }_0{M}_s$ : une droite de pente ${\mu }_0$, qui vaut $B_r=1,3\mathrm{T}$ en $H=0$ et s'annule pour $$H_{cB}=-M_s=-\frac{1,3}{4\pi \times 10^{-7}}\approx -1,03\times 10^6\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1},$$ avant que l'aimantation ne bascule en $-H_{cJ}=-1,2\times 10^6\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}$. Le cycle $(H,B)$ est un parallélogramme : sa coercivité « en $B$ » est plus petite que sa coercivité « en $M$ ». Entre les deux, $B$ est négatif alors que l'aimant reste aimanté positivement : il n'est pas encore désaimanté.

2) Le fer-silicium : un seul cycle. $\frac{B_r}{{\mu }_0}\approx 9,5\times 10^5\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}$, trois mille fois plus que les excitations utilisées : le terme ${\mu }_{0}H$ est négligeable, $B\simeq {\mu }_{0}M$, et les deux cycles se confondent à un facteur ${\mu }_0$ près. Pour un matériau doux, on peut parler indifféremment de l'un ou de l'autre.

3) Doux ou dur. L'aire du cycle $(H,B)$, $\oint H\mathrm{d}B$, est l'énergie dissipée par unité de volume et par cycle. Pour le fer-silicium, en assimilant le cycle à un rectangle de demi-largeur $H_c$ et de demi-hauteur $B_r$ : $4B_r{H}_c\approx 4\times 1,2\times 30\approx 1,4\times 10^2\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$. Pour l'aimant, $\oint H\mathrm{d}B={\mu }_0\oint H\mathrm{d}H+{\mu }_0\oint H\mathrm{d}M$, et le premier terme est nul sur un cycle : l'aire vaut ${\mu }_0\times 4M_s{H}_{cJ}=4\times 1,3\times 1,2\times 10^6\approx 6,2\times 10^6\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$, quarante mille fois plus. Un transformateur fait parcourir cinquante cycles par seconde à son noyau : il lui faut le matériau doux, à cycle étroit. Un aimant de moteur ne parcourt jamais son cycle : il travaille sur une seule branche, et on veut que rien ne puisse le désaimanter — un $H_{cJ}$ énorme, un matériau dur.

4) La température. Au-delà de la température de Curie, l'ordre ferromagnétique disparaît ; en refroidissant, il revient dans chaque domaine, mais sans champ orientant, l'aimantation macroscopique ne se reforme pas : l'aimant est désaimanté irréversiblement. Bien avant, la coercivité du néodyme-fer-bore diminue quand la température monte : un moteur qui chauffe, soumis au champ de ses bobinages, peut désaimanter ses aimants. D'où les limites de température des moteurs à aimants, et l'emploi d'alliages plus coûteux pour les applications chaudes.

Ce que l'exercice installe. $B={\mu }_0(H+M)$ « cisaille » le cycle : pour un matériau dur, les cycles $(H,M)$ et $(H,B)$ diffèrent et il y a deux coercivités ; pour un matériau doux, ils se confondent. L'aire du cycle mesure les pertes par cycle et classe les usages.