électromagnétisme (PSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

L'aimant permanent dans son circuit : le point de fonctionnement

Milieux ferromagnétiques · D. Circuits magnétiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un aimant néodyme-fer-bore en forme d'arc, de longueur $ℓ_{a} = 4, 0 cm$ , est refermé par un entrefer d'épaisseur $e$ , de même section que lui (pas de fuites, lignes orthogonales aux faces). Aucun courant libre ne circule. Dans le deuxième quadrant de son cycle ( $H < 0$ , $B > 0$ ), on modélise sa courbe de désaimantation par la droite $B = B_{r} + μ_{0} μ_{rec} H$ , avec $B_{r} = 1, 3 T$ et $μ_{rec} = 1, 05$ (données de l'énoncé).

1) Par le théorème d'Ampère pour $H$ sur la ligne moyenne et par la conservation du flux, montrer que le point de fonctionnement $(H_{a}, B)$ de l'aimant vérifie $B = - μ_{0} \frac{ℓ _{a}}{e} H_{a}$ (« droite de charge »). Pourquoi l'aimant travaille-t-il nécessairement avec $H_{a} < 0$ ?

2) En déduire $B$ dans l'entrefer en fonction de $B_{r}$ , $μ_{rec}$ , $e$ et $ℓ_{a}$ . Calculer $B$ et $H_{a}$ pour $e = 1$ , $5$ et $10 mm$ . Que se passe-t-il pour $e \to 0$ ? pour $e$ très grand ?

3) Montrer que l'énergie magnétique de l'entrefer vaut $- \frac{1}{2} B H_{a} \times (S ℓ_{a})$ , et qu'elle est maximale, à volume d'aimant donné, pour $B = B_{r} /2$ . Calculer le « produit énergétique maximal » $(- B H_{a})_{m a x}$ et l'entrefer correspondant. Vérifier que l'aimant ne se désaimante pas (son aimantation ne bascule que pour $H < - 1, 2 \times 1 0^{6} A m^{- 1}$ ).

4) Pourquoi les fabricants de haut-parleurs et de moteurs choisissent-ils les dimensions de l'aimant en fonction de l'entrefer ?

Corrigé

La stratégie. Sans courant libre, la circulation de $H$ est nulle : ce qui est positif dans l'entrefer doit être négatif dans l'aimant. Le flux impose le même $B$ . Le point de fonctionnement est l'intersection de cette contrainte avec la caractéristique du matériau, comme le point de fonctionnement d'un dipôle électrique.

1) La droite de charge. $\oint H \cdot d ℓ = 0$ (aucun courant libre) : $H_{a} ℓ_{a} + H_{e} e = 0$ . Dans l'entrefer, $H_{e} = \frac{B}{μ _{0}}$ ; le flux conservé, à section égale, donne le même $B$ dans l'aimant : $H_{a} = - \frac{e}{ℓ _{a}} \frac{B}{μ _{0}} ⟺ B = - μ_{0} \frac{ℓ _{a}}{e} H_{a} .$ $B$ étant positif dans l'entrefer (les lignes y vont du pôle nord au pôle sud), $H_{a}$ est négatif : l'excitation dans l'aimant est opposée à son aimantation. L'aimant travaille dans le deuxième quadrant, il est soumis à son propre champ « démagnétisant ».

2) Le point de fonctionnement. Avec $B = B_{r} + μ_{0} μ_{rec} H_{a}$ et $H_{a} = - \frac{e B}{μ _{0} ℓ _{a}}$ : $B = \frac{B _{r}}{1 + μ _{rec} e / ℓ _{a}} .$

$e$ (mm)	1	5	10
$B$ (T)	1,27	1,15	1,03
$H_{a}$ ( $kA m^{- 1}$ )	$- 25$	$- 114$	$- 205$

Pour $e \to 0$ (circuit fermé), $B \to B_{r}$ et $H_{a} \to 0$ : l'aimant est à sa rémanence. Pour $e$ grand devant $ℓ_{a}$ , $B \to 0$ : un aimant court face à un grand entrefer travaille près de la coercivité, et risque la désaimantation.

3) Le produit énergétique. L'énergie de l'entrefer vaut $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} S e$ ; avec $e = - μ_{0} ℓ_{a} H_{a} / B$ (question 1), elle devient $- \frac{1}{2} B H_{a} S ℓ_{a}$ : l'énergie disponible dans l'entrefer est fixée par le produit $- B H_{a}$ au point de fonctionnement, multiplié par le volume de l'aimant. Sur la droite de désaimantation, $- B H_{a} = - (B_{r} + μ_{0} μ_{rec} H_{a}) H_{a}$ est maximal pour $H_{a} = - \frac{B _{r}}{2 μ _{0} μ _{rec}}$ , c'est-à-dire $B = \frac{B _{r}}{2}$ : $(- B H_{a})_{m a x} = \frac{B _{r}^{2}}{4 μ _{0} μ _{rec}} = \frac{1 , 3 ^{2}}{4 \times 4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 1 , 05} \approx 3, 2 \times 1 0^{5} J m^{- 3},$ obtenu pour $\frac{e}{ℓ _{a}} = \frac{1}{μ _{rec}}$ , soit $e \approx 3, 8 cm$ . En ce point, $H_{a} \approx - 4, 9 \times 1 0^{5} A m^{- 1}$ , loin du basculement à $- 1, 2 \times 1 0^{6} A m^{- 1}$ : l'aimant ne se désaimante pas. Ce « produit énergétique maximal », environ $320 kJ m^{- 3}$ , est le chiffre par lequel les fabricants classent leurs aimants.

4) La conception. À volume d'aimant donné, le champ dans l'entrefer (haut-parleur, moteur) est le plus « économique » quand l'aimant travaille près de $B_{r} /2$ ; d'où le rapport entre la longueur de l'aimant et l'épaisseur de l'entrefer. Un aimant trop court face à un grand entrefer travaille à faible $B$ , près de la coercivité, et un choc thermique ou un champ extérieur peut le désaimanter ; un aimant trop long gaspille de la matière coûteuse.

Ce que l'exercice installe. Ampère pour $H$ sans courant libre : l'aimant travaille avec une excitation opposée à son aimantation, dans le deuxième quadrant ; le point de fonctionnement à l'intersection de la droite de charge et de la caractéristique du matériau ; le produit $- B H$ mesure l'énergie qu'un aimant met dans son entrefer.

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