électromagnétisme (PSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

L'électroaimant de levage : le champ dans l'entrefer, et ce qui le plafonne

Milieux ferromagnétiques · D. Circuits magnétiques · niveau 2

Énoncé

Un électroaimant de levage est un circuit magnétique en fer doux ( $μ_{r} = 5000$ ) : un noyau en U, de longueur moyenne $ℓ = 50 cm$ (y compris la portion dans la pièce soulevée), de section $S = 100 c m^{2}$ , bobiné de $N = 800$ spires. La pièce d'acier qu'il soulève ferme le circuit à travers deux entrefers identiques d'épaisseur $e$ (peinture, rouille, défauts de planéité). On admet que les lignes de champ traversent chaque entrefer orthogonalement aux faces, sans s'évaser, et que la force portante vaut, par pôle, $\frac{B ^{2} S}{2 μ _{0}}$ (expression admise : la pression magnétique).

1) Pourquoi le champ $B$ est-il le même dans le fer et dans les entrefers ? Par le théorème d'Ampère pour $H$ sur la ligne moyenne, relier $N I$ à $B$ .

2) Pour $e = 1, 0 mm$ , quel courant faut-il pour obtenir $B = 1, 2 T$ ? Quelle part de la force magnétomotrice « consomment » les entrefers ? Quelle masse l'électroaimant peut-il soulever ?

3) Même courant, mais la pièce est propre et bien plane : $e = 0, 10 mm$ . Que prévoit le modèle linéaire ? Est-ce réaliste ?

4) Même courant, mais la pièce est rouillée : $e = 2, 0 mm$ . Calculer $B$ et la force portante. Conclure.

5) À l'arrêt du courant, la pièce tombe. Pourquoi faut-il un matériau doux ?

Corrigé

La stratégie. Le flux se conserve le long du circuit ; à section égale, $B$ aussi. L'excitation est faible dans le fer, énorme dans l'air : Ampère pour $H$ montre que la force magnétomotrice se dépense presque toute dans les entrefers.

1) Un même $B$ , deux $H$ très différents. Le flux de $B$ est conservatif ; les lignes traversent les entrefers sans s'évaser, avec la même section $S$ : $B$ est le même partout le long du circuit. Mais $H_{fer} = \frac{B}{μ _{0} μ _{r}}$ et $H_{air} = \frac{B}{μ _{0}}$ , cinq mille fois plus. Sur la ligne moyenne, qui traverse deux entrefers : $N I = H_{fer} ℓ + 2 H_{air} e = \frac{B}{μ _{0}} (\frac{ℓ}{μ _{r}} + 2 e) .$ Le fer compte comme une épaisseur d'air de $ℓ / μ_{r} = 0, 10 mm$ .

2) Le cas nominal. $N I = \frac{1 , 2}{4 π \times 1 0 ^{- 7}} (1, 0 \times 1 0^{- 4} + 2, 0 \times 1 0^{- 3}) \approx 2, 0 \times 1 0^{3} A$ (ampères-tours), d'où $I = \frac{2005}{800} \approx 2, 5 A$ . Les entrefers en consomment $\frac{2 , 0}{2 , 1} \approx 95 %$ : deux millimètres d'air pèsent vingt fois plus que cinquante centimètres de fer. Force portante : $2 \times \frac{B ^{2} S}{2 μ _{0}} = \frac{1 , 2 ^{2} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{- 2}}{4 π \times 1 0 ^{- 7}} \approx 1, 1 \times 1 0^{4} N$ , de quoi soulever $1, 2 t$ .

3) La saturation commande. Avec $e = 0, 10 mm$ et le même $N I$ , le modèle linéaire donne $B = \frac{μ _{0} N I}{ℓ / μ _{r} + 2 e} = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 2005}{3 , 0 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 8, 4 T$ : impossible. Le fer sature vers $1, 6$ à $2 T$ ; au-delà, $μ_{r}$ s'effondre et le modèle linéaire perd son sens. Le champ réel plafonne à la saturation : ce n'est plus l'entrefer, c'est le matériau qui limite. La force portante, en $B^{2}$ , gagne au plus un facteur $(1, 8/1, 2)^{2} \approx 2, 3$ .

4) La rouille. Avec $e = 2, 0 mm$ : $B = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 2005}{1 , 0 \times 1 0 ^{- 4} + 4 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 0, 61 T$ , et la force tombe à $\frac{0 , 6 1 ^{2} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{- 2}}{4 π \times 1 0 ^{- 7}} \approx 3, 0 \times 1 0^{3} N$ : quatre fois moins. La force dépend de l'entrefer comme $1/ e^{2}$ dès que l'entrefer domine : un millimètre de rouille divise la charge utile par quatre. D'où le soin apporté aux surfaces, et les marges de sécurité.

5) Le fer doux. Il faut que la pièce se décroche à l'arrêt du courant : le noyau ne doit presque rien garder de son aimantation, donc avoir un cycle étroit, à faible champ rémanent. Avec un matériau dur, l'électroaimant deviendrait un aimant permanent et ne lâcherait plus la pièce.

Ce que l'exercice installe. Le flux conservé impose un même $B$ ; l'excitation se concentre dans l'air ; Ampère pour $H$ donne le champ produit dans l'entrefer d'un électroaimant ; un entrefer mince domine la réluctance ; et le modèle linéaire a deux limites : l'entrefer (qui le rend linéaire) et la saturation (qui le plafonne).

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