électromagnétisme (PSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Le tore à noyau : $H$ vient des courants libres, $B$ du matériau

Milieux ferromagnétiques · B. Excitation magnétique et milieux linéaires · niveau 2

Énoncé

Un tore de fer doux, de longueur moyenne $ℓ = 40 cm$ et de section $S = 4, 0 c m^{2}$ , porte $N = 500$ spires parcourues par $I$ . Sa courbe de première aimantation est donnée par le tableau suivant (données de l'énoncé, valeurs typiques d'un fer doux).

$H$ ( $A m^{- 1}$ )	50	100	200	500	1000	5000
$B$ ( $T$ )	0,50	0,90	1,20	1,40	1,50	1,70

1) Par le théorème d'Ampère pour $H$ sur la ligne moyenne, exprimer $H$ en fonction de $I$ . Pourquoi est-ce $H$ , et non $B$ , que fixe directement le courant ? Écrire la forme locale correspondante et la comparer à celle qui porte sur $B$ .

2) Quel courant faut-il pour obtenir $B = 1, 2 T$ dans le tore ? Quel courant faudrait-il sans noyau ? Quel est alors le flux ?

3) Calculer, pour chaque point du tableau, la perméabilité relative $μ_{r} = \frac{B}{μ _{0} H}$ et l'aimantation $M$ . Comparer $M$ à $B / μ_{0}$ . Tracer l'allure de $B (H)$ et de $μ_{r} (H)$ .

4) Dans quel domaine peut-on modéliser ce fer par un milieu linéaire ? Que devient la pente de $B (H)$ à forte excitation, et pourquoi ? Estimer l'aimantation à saturation.

Corrigé

La stratégie. L'excitation se calcule par le seul courant libre, sans rien savoir du matériau ; la courbe du matériau donne ensuite $B$ , puis $μ_{r}$ et $M$ .

1) Le courant fixe $H$ . Sur la ligne moyenne, par symétrie, $H$ est tangent et de norme constante ; le courant libre enlacé vaut $N I$ : $H ℓ = N I$ , soit $H = \frac{N I}{ℓ}$ . Le théorème d'Ampère pour $H$ ne fait intervenir que les courants libres, que l'on impose ; $B$ , lui, a aussi pour source l'aimantation, qui dépend du matériau et de son histoire. Localement, dans l'ARQS : $rot H = j_{libre}$ , alors que $rot B = μ_{0} (j_{libre} + j_{li e ˊ})$ : les sources de $H$ sont les seuls courants libres, celles de $B$ les courants libres et l'aimantation.

2) Un courant dérisoire. Pour $B = 1, 2 T$ , le tableau donne $H = 200 A m^{- 1}$ , d'où $I = \frac{H ℓ}{N} = \frac{200 \times 0 , 40}{500} = 0, 16 A$ , et un flux $Φ = B S = 4, 8 \times 1 0^{- 4} Wb$ . Sans noyau, il faudrait $H = \frac{B}{μ _{0}} \approx 9, 5 \times 1 0^{5} A m^{- 1}$ , soit $I \approx 7, 6 \times 1 0^{2} A$ : près de cinq mille fois plus. C'est tout l'intérêt du fer.

3) $μ_{r}$ et $M$ . Avec $μ_{r} = \frac{B}{μ _{0} H}$ et $M = \frac{B}{μ _{0}} - H$ :

$H$ ( $A m^{- 1}$ )	50	100	200	500	1000	5000
$μ_{r}$	7960	7160	4770	2230	1190	270
$M$ ( $1 0^{5} A m^{- 1}$ )	3,98	7,16	9,55	11,1	11,9	13,5

$M$ et $B / μ_{0}$ diffèrent au plus de $0, 4 %$ (au dernier point) : dans le fer, $B$ est presque entièrement dû à l'aimantation, et l'excitation n'en est qu'un déclencheur.

4) Le domaine linéaire et la saturation. Aux faibles excitations ( $H ≲ 100 A m^{- 1}$ , $B ≲ 1 T$ ), $μ_{r}$ reste de l'ordre de $7 \times 1 0^{3}$ à $8 \times 1 0^{3}$ : le modèle linéaire $B = μ_{0} μ_{r} H$ est acceptable. Au-delà, $μ_{r}$ s'effondre : tous les moments atomiques s'alignent, $M$ tend vers $M_{s}$ , et $B = μ_{0} (H + M_{s})$ ne croît plus qu'avec la pente $μ_{0}$ , celle du vide. Entre $H = 1000$ et $5000 A m^{- 1}$ , $M$ ne gagne plus que $13 %$ : $M_{s} \approx 1, 4 \times 1 0^{6} A m^{- 1}$ , soit $μ_{0} M_{s} \approx 1, 7$ à $1, 8 T$ . Un circuit magnétique se dimensionne pour travailler sous le coude de saturation.

Ce que l'exercice installe. On pilote $H$ par les courants libres, on mesure $B$ ; les sources de $H$ et de $B$ ; $μ_{r}$ n'est pas une constante, et le modèle linéaire vaut sous le coude ; dans le fer, $B ≃ μ_{0} M$ .

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