Pourquoi une inductance a un entrefer : inductance stabilisée, énergie logée dans l'air

La stratégie. La loi d'Ohm magnétique, $NI=\mathcal{R}\Phi$, donne l'inductance $L=N^2/\mathcal{R}$ ; l'entrefer, en série, domine la réluctance. L'énergie se localise là où la densité $B^2/2{\mu }_0{\mu }_r$ est grande, c'est-à-dire dans l'air.

1) Les réluctances. $${\mathcal{R}}_{\text{fer}}=\frac{\ell }{{\mu }_0{\mu }_{r}S}=\frac{0,40}{4\pi \times 10^{-7}\times 2000\times 4,0\times 10^{-4}}\approx 4,0\times 10^5{\mathrm{H}}^{-1},$$ $${\mathcal{R}}_{\text{air}}=\frac{e}{{\mu }_{0}S}\approx 2,0\times 10^6{\mathrm{H}}^{-1}.$$ Sans entrefer, $L=\frac{N^2}{{\mathcal{R}}_{\text{fer}}}=\frac{2,5\times 10^5}{4,0\times 10^5}\approx 0,63\mathrm{H}$ ; avec, $L=\frac{N^2}{{\mathcal{R}}_{\text{fer}}+{\mathcal{R}}_{\text{air}}}\approx 0,105\mathrm{H}$, proche de $\frac{{\mu }_0{N}^{2}S}{e}\approx 0,126\mathrm{H}$, la valeur qu'aurait la bobine si le fer était parfait : l'entrefer fait presque tout.

2) Une inductance stabilisée.

${\mu }_r$	1000	2000	4000
$L$ sans entrefer (H)	0,31	0,63	1,26
$L$ avec entrefer (H)	0,090	0,105	0,114

Sans entrefer, $L$ est proportionnelle à ${\mu }_r$, qui varie d'un facteur quatre : le composant est imprévisible. Avec entrefer, $L$ ne varie que de $\pm 12\%$ : la réluctance de l'air, parfaitement connue, l'emporte. On sacrifie de l'inductance pour gagner de la précision et de la linéarité.

3) L'énergie est dans l'air. Le flux $\Phi =BS$ est le même dans le fer et dans l'entrefer. Énergies : $W_{\text{fer}}=\frac{B^2}{2{\mu }_0{\mu }_r}S\ell =\frac{1}{2}{\mathcal{R}}_{\text{fer}}{\Phi }^2$ et $W_{\text{air}}=\frac{B^2}{2{\mu }_0}Se=\frac{1}{2}{\mathcal{R}}_{\text{air}}{\Phi }^2$. La fraction dans l'entrefer vaut $\frac{{\mathcal{R}}_{\text{air}}}{{\mathcal{R}}_{\text{fer}}+{\mathcal{R}}_{\text{air}}}=\frac{2,0}{2,4}\approx 83\%$ : un millimètre d'air stocke cinq fois plus d'énergie que quarante centimètres de fer, parce qu'à $B$ égal la densité d'énergie y est ${\mu }_r$ fois plus grande. Au total, $W=\frac{1}{2}({\mathcal{R}}_{\text{fer}}+{\mathcal{R}}_{\text{air}}){\Phi }^2$, et avec $\Phi =\frac{NI}{{\mathcal{R}}_{\text{fer}}+{\mathcal{R}}_{\text{air}}}$, $W=\frac{1}{2}\frac{N^2}{{\mathcal{R}}_{\text{fer}}+{\mathcal{R}}_{\text{air}}}{I}^2=\frac{1}{2}L{I}^2$ : la densité d'énergie en milieu linéaire est cohérente avec l'énergie de la bobine.

4) Six fois plus d'énergie avant saturation. Le flux maximal est ${\Phi }_{\max }=B_{\text{sat}}S=6,0\times 10^{-4}\mathrm{Wb}$, quel que soit l'entrefer. Sans entrefer : $I_{\max }=\frac{{\mathcal{R}}_{\text{fer}}{\Phi }_{\max }}{N}\approx 0,48\mathrm{A}$ et $W_{\max }=\frac{1}{2}{\mathcal{R}}_{\text{fer}}{\Phi }_{\max }^2\approx 0,072\mathrm{J}$. Avec entrefer : $I_{\max }\approx 2,9\mathrm{A}$ et $W_{\max }=\frac{1}{2}({\mathcal{R}}_{\text{fer}}+{\mathcal{R}}_{\text{air}}){\Phi }_{\max }^2\approx 0,43\mathrm{J}$, six fois plus. Une inductance de lissage doit stocker de l'énergie à chaque période et supporter un courant continu important sans saturer : l'entrefer, qui loge l'énergie dans l'air, insaturable, est fait pour cela. Un transformateur, qui ne doit rien stocker, n'en a pas.

Ce que l'exercice installe. L'inductance d'une bobine à noyau, $L=N^2/\mathcal{R}$, et la réluctance de l'entrefer qui la domine ; un entrefer stabilise l'inductance ; la densité $B^2/2{\mu }_0{\mu }_r$ redonne $\frac{1}{2}L{I}^2$ et loge l'énergie dans l'air ; la saturation fixe le flux maximal, l'entrefer l'énergie maximale.