électromagnétisme (PSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Un aimant est un solénoïde : aimantation, courants liés, champ lointain

Milieux ferromagnétiques · A. Aimantation de la matière · niveau 2

Énoncé

Un barreau cylindrique, de rayon $a$ , est aimanté uniformément : $M = M u_{z}$ selon son axe. On admet que cette aimantation est équivalente à des courants liés : une densité volumique $rot M$ dans le volume, et, dans une couche très mince à la surface latérale, un courant orthoradial d'intensité $M$ par unité de longueur du barreau.

1) Vérifier que $M$ s'exprime en $A m^{- 1}$ . Que vaut la densité volumique de courants liés ? À quel dispositif du cours le barreau est-il équivalent ? En déduire $B$ et $H$ à l'intérieur d'un barreau long, loin de ses extrémités.

2) Un aimant néodyme-fer-bore a, pour un barreau long, un champ rémanent intérieur $B_{r} = 1, 3 T$ . Calculer $M$ et l'intensité équivalente par centimètre de hauteur. Pourrait-on obtenir le même champ avec un bobinage de cuivre (densité de courant admissible de l'ordre de $5 A m m^{- 2}$ ) d'un centimètre d'épaisseur ?

3) Le fer saturé a une aimantation telle que $μ_{0} M_{s} = 2, 1 T$ ; sa densité atomique vaut $8, 5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ . Combien de magnétons de Bohr porte en moyenne chaque atome ?

4) Un petit aimant néodyme-fer-bore cylindrique, de rayon $5, 0 mm$ et de hauteur $1, 0 cm$ , a la même aimantation qu'en 2. Calculer son moment magnétique. Avec le champ dipolaire fourni par le cours, calculer le champ sur son axe à $10 cm$ et à $1 m$ ; comparer au champ terrestre ( $47 μ T$ ). Décrire les lignes de champ de $B$ , à l'intérieur et à l'extérieur de l'aimant.

Corrigé

La stratégie. Remplacer l'aimantation par les courants qui lui sont équivalents ramène la matière aimantée à de la magnétostatique déjà connue : un barreau uniformément aimanté est un solénoïde. Puis les ordres de grandeur, et le champ lointain par le dipôle.

1) Le barreau-solénoïde. $M$ est un moment magnétique ( $A m^{2}$ ) par unité de volume ( $m^{3}$ ) : des $A m^{- 1}$ , comme une intensité par unité de longueur — d'où l'équivalence. Pour $M$ uniforme, $rot M = 0$ : aucun courant lié en volume ; seul subsiste le courant de surface, orthoradial, $M$ ampères par mètre de barreau. C'est un solénoïde dont le produit $n I$ vaudrait $M$ : à l'intérieur d'un barreau long, loin des bords, $B = μ_{0} M$ , et à l'extérieur (au milieu du barreau) $B ≃ 0$ . L'excitation vaut à l'intérieur $H = \frac{B}{μ _{0}} - M = 0$ : il n'y a aucun courant libre, et pour un barreau long l'excitation est nulle ; tout le champ vient de l'aimantation.

2) Dix mille ampères par centimètre. $M = \frac{B _{r}}{μ _{0}} = \frac{1 , 3}{4 π \times 1 0 ^{- 7}} \approx 1, 0 \times 1 0^{6} A m^{- 1}$ , soit $1, 0 \times 1 0^{4} A$ par centimètre de hauteur. Un bobinage de cuivre d'un centimètre d'épaisseur, à $5 A m m^{- 2}$ , porte $5 \times 10 \times 10 = 500 A$ par centimètre de hauteur (section de $10 \times 10 m m^{2}$ ) : vingt fois moins, et il dissiperait de la chaleur en permanence. Un aimant obtient sans énergie ce qu'un électroaimant n'atteint qu'avec des bobinages massifs ou supraconducteurs.

3) Deux magnétons par atome. $M_{s} = \frac{2 , 1}{μ _{0}} \approx 1, 67 \times 1 0^{6} A m^{- 1}$ , et le moment moyen par atome vaut $\frac{M _{s}}{n} = \frac{1 , 67 \times 1 0 ^{6}}{8 , 5 \times 1 0 ^{28}} \approx 2, 0 \times 1 0^{- 23} A m^{2} \approx 2, 1 μ_{B}$ . L'aimantation à saturation, c'est simplement un ou deux magnétons de Bohr par atome, tous alignés.

4) Le champ lointain d'un petit aimant. $m = M V = 1, 03 \times 1 0^{6} \times π \times (5, 0 \times 1 0^{- 3})^{2} \times 1, 0 \times 1 0^{- 2} \approx 0, 81 A m^{2}$ . Sur l'axe ( $θ = 0$ ), le champ fourni vaut $\frac{μ _{0} m}{2 π z ^{3}}$ : à $10 cm$ , $\frac{2 \times 1 0 ^{- 7} \times 0 , 81}{1 0 ^{- 3}} \approx 0, 16 mT$ , trois fois et demie le champ terrestre ; à $1 m$ , mille fois moins, $0, 16 μ T$ : un aimant de bureau n'est plus perceptible par une boussole au-delà de quelques dizaines de centimètres. Les lignes de $B$ sont fermées (flux conservatif) : à l'intérieur de l'aimant, elles vont du pôle sud au pôle nord, dans le sens de $M$ ; à l'extérieur, elles sortent par le pôle nord et reviennent au pôle sud, avec l'allure dipolaire à grande distance.

Ce que l'exercice installe. L'aimantation est une intensité par unité de longueur ; uniforme, elle équivaut à une nappe de courant en surface : un aimant est un solénoïde ; $B = μ_{0} (H + M)$ ; un ou deux magnétons de Bohr par atome alignés font l'aimantation à saturation ; loin, l'aimant est un dipôle.

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