Quand une onde réelle est-elle une onde plane progressive monochromatique ?

La stratégie. Deux idéalisations indépendantes, spatiale (plane) et temporelle (monochromatique), testées chacune par un rapport sans dimension : la flèche de la surface d'onde devant $\lambda$, la largeur spectrale devant $f$.

1) La flèche d'une surface d'onde. Sur la sphère de rayon $R$, le point à la distance $d/2$ de l'axe est en retrait du plan tangent au sommet de $$s=R-\sqrt{R^2-\frac{d^2}{4}}=R\left(1-\sqrt{1-\frac{d^2}{4R^2}}\right)\approx R\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{d^2}{4R^2}=\frac{d^2}{8R},$$ par $\sqrt{1-\epsilon }\approx 1-\epsilon /2$. Entre le centre et le bord du récepteur, la phase de l'onde réelle diffère de celle d'une onde plane de $2\pi s/\lambda$ : l'onde est plane à l'échelle du récepteur si ce déphasage est petit devant $2\pi$, soit $s\ll \lambda$.

Le cas c) surprend : à un mètre, une lampe n'éclaire pas une lentille d'un centimètre en onde plane, parce que la longueur d'onde optique est minuscule ; d'où la lentille de collimation, la source à son foyer objet. Le cas b) est limite : $2\pi \times 0,03\approx 0,2\mathrm{rad}$ de déphasage entre le centre et le bord. Pour d), le Soleil n'est pas ponctuel (vu sous $0,5^{\circ }$) : chacun de ses points envoie une onde plane de direction légèrement différente.

2) La durée et la largeur spectrale. a) $f=c/\lambda =3,75\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, période $T=2,67\mathrm{fs}$ : l'impulsion contient $10/2,67\approx 3,7$ périodes. $\Delta f\sim 1/\Delta t=10^{14}\mathrm{Hz}$, d'où $\Delta f/f\approx 0,27$ et, par $\Delta \lambda /\lambda =\Delta f/f$, $\Delta \lambda \approx 0,27\times 800\approx 210\mathrm{nm}$ : pas du tout monochromatique, l'impulsion couvre une bande de plus de $200\mathrm{nm}$. b) $f=4,74\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, $\Delta f/f=1,5\times 10^9/4,74\times 10^{14}\approx 3\times 10^{-6}$ : monochromatique à mieux que $10^{-5}$. c) $\Delta f/f=2\times 10^5/10^8=2\times 10^{-3}$ : quasi monochromatique. d) de $c/700\mathrm{nm}=4,3\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ à $c/400\mathrm{nm}=7,5\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ : $\Delta f\approx 3,2\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, rapporté à $5,45\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, $\Delta f/f\approx 0,6$ : très loin d'une OPPM.

3) Le spectre. Radio : la FM ($3\mathrm{m}$) ; radiodiffusion. Micro-ondes : le Wi-Fi ($12,5\mathrm{cm}$) ; communications, radar, four. Infrarouge : l'impulsion à $800\mathrm{nm}$ ; lasers femtoseconde, télécommunications optiques, imagerie thermique. Visible : la lampe, le Soleil, le laser hélium-néon ($633\mathrm{nm}$, rouge), la lumière verte ($\lambda =c/f=500\mathrm{nm}$) ; vision, éclairage. Rayons X : $\lambda =3,00\times 10^8/(3\times 10^{18})=0,1\mathrm{nm}$ ; radiographie, cristallographie. Dix ordres de grandeur séparent ces longueurs d'onde ; la même équation de propagation les décrit toutes.

4) Bilan. L'émetteur FM et le laser hélium-néon satisfont les deux critères : ce sont, sur la zone et la durée utiles, de bonnes OPPM ; le Wi-Fi presque (un canal de $20\mathrm{MHz}$ à $2,4\mathrm{GHz}$ donne $\Delta f/f\approx 10^{-2}$). La lampe échoue sur la planéité, le Soleil et l'impulsion femtoseconde sur la monochromaticité. Le modèle ne disparaît pas pour autant : par linéarité, toute onde réelle est une superposition d'OPPM, de fréquences voisines pour une impulsion, de directions voisines pour une onde non plane. L'OPPM est un modèle local et approché, et la brique de toute onde réelle.

Ce que l'exercice installe. Le caractère idéal de l'OPPM se chiffre : flèche $d^2/8R$ devant $\lambda$ pour la planéité, $\Delta f\sim 1/\Delta t$ devant $f$ pour la monochromaticité. Et chaque domaine du spectre a ses longueurs d'onde, ses sources et ses applications.