Ondes stationnaires centimétriques : mesurer $\lambda$ et un coefficient de réflexion

La stratégie. La sonde mesure $⟨E_y^2⟩$ : on calcule cette moyenne pour une réflexion totale, puis partielle. Les positions des minima donnent la longueur d'onde, leur profondeur le coefficient de réflexion. Le bilan d'énergie se fait avec $\overrightarrow{\Pi }$, pas avec $⟨E^2⟩$.

1) La longueur d'onde. Devant le métal, $E_y=-2E_0\sin (kx)\sin (\omega t)$ (cours), d'où $⟨E_y^2⟩=4E_0^2{\sin }^2(kx)⟨{\sin }^2\omega t⟩=2E_0^2{\sin }^2(kx)$ : $S\propto {\sin }^2(kx)$, nul aux nœuds de $E$, $x=m\lambda /2$, le premier sur la plaque. Entre le premier et le onzième minimum, il y a dix intervalles de $\lambda /2$ : $$10\times \frac{\lambda }{2}=150,0\mathrm{mm}⟹\lambda =30,0\mathrm{mm},f=\frac{c}{\lambda }=\frac{3,00\times 10^8}{3,00\times 10^{-2}}=10,0\mathrm{GHz}.$$ Pourquoi dix intervalles. La différence de deux pointages est connue à environ $\sqrt{2}\times 0,5\approx 0,7\mathrm{mm}$ près. Sur un seul intervalle, $\lambda /2=15\mathrm{mm}$ serait connu à $0,7\mathrm{mm}$ près, soit $5\%$ ; sur dix, l'erreur de pointage se répartit sur $150\mathrm{mm}$ : $0,5\%$. On pointe des minima, parce que ce sont des zéros : en augmentant le gain du détecteur, on les repère finement, alors que le sommet d'un maximum est plat.

2) Réflexion partielle. Le champ total est $E_y=E_0\left[\cos (\omega t+kx)-r\cos (\omega t-kx)\right]$. En élevant au carré et en moyennant, avec $⟨{\cos }^2⟩=\frac{1}{2}$ et $⟨\cos (\omega t+kx)\cos (\omega t-kx)⟩=\frac{1}{2}\cos (2kx)$ : $$⟨E_y^2⟩=\frac{E_0^2}{2}\left[1+r^2-2r\cos (2kx)\right].$$ Les minima sont en $\cos (2kx)=1$, c'est-à-dire en $x=m\lambda /2$ (toujours sur la plaque et tous les $\lambda /2$), et valent $\frac{E_0^2}{2}(1-r{)}^2$, non nuls si $r<1$ ; les maxima, en $x=\lambda /4+m\lambda /2$, valent $\frac{E_0^2}{2}(1+r{)}^2$. Donc $$\frac{S_{\max }}{S_{\min }}={\left(\frac{1+r}{1-r}\right)}^2=9,0⟹\frac{1+r}{1-r}=3⟹r=0,50.$$ Cas limites : $r=1$ redonne des zéros (rapport infini) ; $r=0$ donne $S$ uniforme (rapport $1$). Décomposition. En écrivant $\cos (\omega t+kx)=(1-r)\cos (\omega t+kx)+r\cos (\omega t+kx)$ : $$E_y=\underset{\text{onde progressive}}{\underbrace{(1-r)E_0\cos (\omega t+kx)}}\underset{\text{onde stationnaire}}{\underbrace{-2r{E}_0\sin (kx)\sin (\omega t)}}.$$ C'est une onde partiellement stationnaire : une onde progressive d'amplitude $(1-r)E_0$ qui va vers la plaque, et une onde stationnaire d'amplitude $2r{E}_0$.

3) Le flux d'énergie. Les deux ondes sont progressives : ${\overrightarrow{B}}_i=-\frac{E_0}{c}\cos (\omega t+kx){\overrightarrow{e}}_z$ et ${\overrightarrow{B}}_r=\frac{{\overrightarrow{e}}_x\wedge {\overrightarrow{E}}_r}{c}=-\frac{r{E}_0}{c}\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_z$. Avec $a=\cos (\omega t+kx)$ et $b=\cos (\omega t-kx)$ : $${\Pi }_x=\frac{E_y{B}_z}{{\mu }_0}=-\frac{E_0^2}{{\mu }_{0}c}(a-rb)(a+rb)=-\frac{E_0^2}{{\mu }_{0}c}\left(a^2-r^2{b}^2\right).$$ Les termes croisés s'annulent exactement, à chaque instant : le flux d'énergie n'a pas de terme d'interférence, alors que $⟨E_y^2⟩$ en a un (c'est lui que voit la sonde). En moyenne, $$⟨{\Pi }_x⟩=-(1-r^2)\frac{E_0^2}{2{\mu }_{0}c}=-(1-r^2)I_0,$$ indépendant de $x$ (le vide n'absorbe rien) et dirigé vers la plaque : le flux incident moins le flux réfléchi. La plaque absorbe la fraction $1-r^2=0,75$, soit $75\%$ de la puissance incidente ; $25\%$ repart.

4) Les trois relevés. Dans les trois cas, la période spatiale de $S$ est $\lambda /2$. A : $S$ uniforme, donc $r\approx 0$ : onde progressive, la plaque absorbe tout (une mousse absorbante, de celles qui tapissent les chambres anéchoïques). B : zéros, donc $r=1$ : onde stationnaire, plaque métallique. C : minima non nuls, rapport $9$, donc $r=0,50$ : onde partiellement stationnaire, plaque partiellement absorbante. L'onde stationnaire se reconnaît à ses nœuds fixes, où le champ est constamment nul.

Ce que l'exercice installe. Une sonde quadratique mesure $⟨E^2⟩$ : l'écart des minima donne $\lambda /2$, leur profondeur donne le coefficient de réflexion par $S_{\max }/S_{\min }={\left(\frac{1+r}{1-r}\right)}^2$. Une onde partiellement stationnaire est la somme d'une onde progressive et d'une onde stationnaire. Et, pour l'énergie, les flux incident et réfléchi se retranchent sans terme croisé : $⟨\Pi ⟩=(1-r^2)I_0$.