Une impulsion piégée entre deux miroirs : pourquoi le spectre est harmonique

La stratégie. La règle de l'exercice 2, « le métal renvoie le signal changé de signe », appliquée sur chacun des deux miroirs. Deux réflexions ramènent le signal à l'identique : le champ est périodique en temps, et la décomposition de Fourier fait le reste.

1) Premier miroir. $E_y(0,t)=F(t)+G(t)=0$ pour tout $t$ : $G=-F$, et $$E_y(x,t)=F\left(t-\frac{x}{c}\right)-F\left(t+\frac{x}{c}\right).$$

2) Second miroir : la périodicité. $E_y(L,t)=F(t-L/c)-F(t+L/c)=0$ pour tout $t$. En posant $s=t-L/c$, $F(s+2L/c)=F(s)$ pour tout $s$ : $F$ est périodique de période $T_1=2L/c$. Alors $$E_y\left(x,t+\frac{2L}{c}\right)=F\left(t-\frac{x}{c}+\frac{2L}{c}\right)-F\left(t+\frac{x}{c}+\frac{2L}{c}\right)=E_y(x,t).$$ Le champ se reproduit identiquement au bout de $2L/c$, quelle que soit sa forme initiale. Avec l'impulsion : elle va jusqu'au miroir $x=L$ (une inversion), revient jusqu'au miroir $x=0$ (une seconde inversion) et se retrouve, après un parcours $2L$, à sa place, avec son signe : deux inversions se compensent.

3) Un spectre de raies. $F$ étant périodique de période $T_1$, sa série de Fourier ne contient que les fréquences $$\frac{n}{T_1}=n\frac{c}{2L}=f_n,n=0,1,2,\dots$$ Ce sont les fréquences propres du cours, obtenues ici sans supposer d'onde sinusoïdale : la quantification est une conséquence de la périodicité. Le terme constant ($n=0$) disparaît de $F(t-x/c)-F(t+x/c)$. Le terme $n\ge 1$, $a_n\cos ({\omega }_{n}s+{\phi }_n)$ avec ${\omega }_n=2\pi f_n$, donne, avec $k_n={\omega }_n/c=n\pi /L$ et $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$ : $$a_n\left[\cos ({\omega }_{n}t-k_{n}x+{\phi }_n)-\cos ({\omega }_{n}t+k_{n}x+{\phi }_n)\right]=2a_n\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)\sin ({\omega }_{n}t+{\phi }_n),$$ le mode propre $n$, nul sur les deux parois. Le champ le plus général est donc une superposition de modes : la « solution générale » que le cours énonce est ici démontrée. Quantification dans le temps (des fréquences $f_n$) et dans l'espace (des formes $\sin (n\pi x/L)$) sont une seule et même chose.

4) Une demi-période plus tard. $E_y(x,t+L/c)=F\left(t+\frac{L-x}{c}\right)-F\left(t+\frac{L+x}{c}\right)$. Par périodicité, $F\left(t+\frac{L+x}{c}\right)=F\left(t+\frac{L+x}{c}-\frac{2L}{c}\right)=F\left(t-\frac{L-x}{c}\right)$. Donc $$E_y\left(x,t+\frac{L}{c}\right)=F\left(t+\frac{L-x}{c}\right)-F\left(t-\frac{L-x}{c}\right)=-E_y(L-x,t).$$ Après un demi-aller-retour, le champ est l'image du champ initial par la symétrie par rapport au milieu de la cavité, changée de signe : une seule réflexion a eu lieu. Vérification sur les modes : $\sin (k_n(L-x))=(-1{)}^{n+1}\sin (k_{n}x)$ et $\sin ({\omega }_n(t+L/c)+{\phi }_n)=(-1{)}^n\sin ({\omega }_{n}t+{\phi }_n)$ ; le produit des signes vaut $-1$ pour tout $n$.

5) Ordres de grandeur. $f_1=\frac{c}{2L}=\frac{3,00\times 10^8}{0,300}=1,00\mathrm{GHz}$ ; un aller-retour dure $2L/c=1,00\mathrm{ns}$ : la période du champ est la durée d'un aller-retour. L'impulsion s'étend sur $c\tau =3,0\mathrm{cm}$, le cinquième de la cavité. Son spectre s'étend jusqu'à $\Delta f\sim 1/\tau =10\mathrm{GHz}$ : il couvre les raies $f_1$ à $f_{10}$ environ, soit une dizaine de modes. Plus l'impulsion est brève, plus elle excite de modes ; à l'inverse, un mode seul est une onde sinusoïdale qui occupe toute la cavité.

6) Le script (facultatif).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

c, L = 3.0e8, 0.15                 # vide, cavité de 15 cm
f1 = c / (2 * L)                   # 1,0 GHz
n = np.arange(1, 31)               # 30 modes
a = np.exp(-(n / 10) ** 2)         # une dizaine de modes notables
x = np.linspace(0, L, 600)
for t in [0.1e-9, 0.3e-9, 0.6e-9, 0.9e-9]:
    E = (a[:, None] * np.sin(n[:, None] * np.pi * x / L)
         * np.sin(2 * np.pi * n[:, None] * f1 * t)).sum(axis=0)
    plt.plot(100 * x, E, label=f"t = {t*1e9:.1f} ns")
plt.xlabel("x (cm)"); plt.ylabel("E_y (unité arbitraire)")
plt.legend(); plt.show()

On voit une impulsion d'environ $2\mathrm{cm}$ partir du miroir $x=0$ (en $x=3$ puis $9\mathrm{cm}$ à $0,1$ et $0,3\mathrm{ns}$), puis revenir inversée après le miroir $x=L$ (en $x=12$ puis $3\mathrm{cm}$ à $0,6$ et $0,9\mathrm{ns}$) : trente modes immobiles fabriquent un signal qui se déplace.

Ce que l'exercice installe. Deux conditions aux limites, écrites pour tout instant, rendent le champ périodique de période $2L/c$ : son spectre ne contient que les $f_n=nc/2L$, et chaque composante est un mode $\sin (n\pi x/L)$. La quantification d'une cavité, c'est la périodicité de l'aller-retour, lue par Fourier ; une impulsion brève est une superposition d'environ $1/(\tau f_1)$ modes.