électronique (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Accorder deux cordes de guitare : durée, fréquence et nombre de points d'une acquisition

Production, acquisition et traitement d'un signal · B. Acquisition numérique : échantillonnage · niveau 2

Énoncé

Pour accorder deux cordes de guitare sur la même note (la grave, $110, 0 Hz$ ), on les fait sonner ensemble devant un microphone relié à un oscilloscope numérique. Une corde est désaccordée à $113, 0 Hz$ . Chaque corde produit un son riche, dont les harmoniques sont mesurables jusqu'à $2 kHz$ environ (donnée de l'énoncé). L'oscilloscope enregistre toujours $M = 2500$ points sur ses 10 divisions : $T_{acq} = 10 \times$ (base de temps). On veut, en mode FFT, séparer les deux fondamentaux et voir tous les harmoniques sans repliement.

1) Quelle est la période des battements que l'on entend et que l'on voit à l'écran en mode temporel ?

2) Pour les bases de temps $20$ , $50$ , $100$ et $200 ms/div$ , calculer $T_{acq}$ , $f_{e}$ , la fréquence de Nyquist $f_{N}$ et la finesse $Δ f = 1/ T_{acq}$ .

3) Pour chaque réglage, les deux fondamentaux sont-ils séparés ? Les harmoniques jusqu'à $2 kHz$ sont-ils correctement placés ? Pour $100 ms/div$ , où apparaissent les harmoniques de rang 12 et 18 de la corde à $110 Hz$ ?

4) Montrer que $f_{N} = \frac{M Δ f}{2}$ . En déduire qu'aucun réglage de l'oscilloscope ne satisfait les deux exigences, et le nombre minimal de points nécessaire. Proposer une acquisition qui convient.

Corrigé

La stratégie. Trois grandeurs liées, $T_{acq}$ , $f_{e}$ et $M = f_{e} T_{acq}$ : la durée fixe la finesse du spectre, la fréquence d'échantillonnage fixe la bande sans repliement. À $M$ fixé, on ne peut pas tout avoir.

1) Battements. La somme de deux sinusoïdes de fréquences voisines a une enveloppe qui bat à la fréquence $∣ f_{1} - f_{2} ∣ = 3 Hz$ : période $1/3 s = 333 ms$ . L'accordeur règle la corde jusqu'à faire disparaître ces battements.

2) Les réglages.

base (ms/div)	$T_{acq}$ (s)	$f_{e}$ (Hz)	$f_{N}$ (Hz)	$Δ f$ (Hz)
$20$	$0, 2$	$12500$	$6250$	$5$
$50$	$0, 5$	$5000$	$2500$	$2$
$100$	$1$	$2500$	$1250$	$1$
$200$	$2$	$1250$	$625$	$0, 5$

3) Ce que montre chaque écran. À $20 ms/div$ , $Δ f = 5 Hz > 3 Hz$ : une seule raie, élargie, autour de $111 Hz$ ; mais tous les harmoniques sont à leur place ( $f_{N} = 6250 Hz$ ). On ne voit d'ailleurs pas les battements : $T_{acq} = 0, 2 s$ est plus court que leur période. À $50 ms/div$ , $Δ f = 2 Hz$ : deux pics à peine séparés ; harmoniques corrects. À $100 ms/div$ , $Δ f = 1 Hz$ : deux pics nets ; mais $f_{N} = 1250 Hz$ , et les harmoniques au-delà se replient : le rang 12 ( $1320 Hz$ ) apparaît à $2500 - 1320 = 1180 Hz$ , le rang 18 ( $1980 Hz$ ) à $520 Hz$ , entre les vrais harmoniques 4 et 5 : des raies fausses. À $200 ms/div$ c'est pire : tout ce qui dépasse $625 Hz$ se replie.

4) La contrainte. $f_{N} = \frac{f _{e}}{2} = \frac{M}{2 T _{acq}} = \frac{M Δ f}{2}$ : avec $M = 2500$ et $Δ f \leq 1 Hz$ (pour bien séparer deux raies distantes de $3 Hz$ ), $f_{N} \leq 1250 Hz < 2 kHz$ . Aucun réglage ne convient. Il faut $M \geq \frac{2 f _{N}}{Δ f} = \frac{2 \times 2 000}{1} = 4000$ points. Une carte d'acquisition réglée à $f_{e} = 5 kHz$ pendant $T_{acq} = 1 s$ ( $5000$ points) convient : $f_{N} = 2500 Hz$ , $Δ f = 1 Hz$ . Autre solution : un filtre passe-bas analogique avant l'oscilloscope, qui supprime les harmoniques au-delà de $1 kHz$ si l'on se contente de les étudier jusque-là.

Ce que l'exercice installe. Les trois paramètres d'une acquisition et leur lien $M = f_{e} T_{acq}$ ; la finesse $1/ T_{acq}$ pour séparer deux raies ; la condition de Nyquist-Shannon pour ne rien replier ; et le compromis qu'impose un nombre de points limité.

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