Faire démarrer un oscillateur à circuit $RLC$ et ALI

La stratégie. Écrire la fonction de transfert du filtre sous forme canonique, puis la condition « gain de boucle égal à $1$ » ; enfin, revenir de la notation complexe à l'équation différentielle pour voir le démarrage.

1) Le filtre. Le courant commun vaut ${\underline{v}}_a/(R+r+jL\omega +1/jC\omega )$, d'où $$\underline{H}=\frac{\underline{s}}{{\underline{v}}_a}=\frac{R}{R+r+j\left(L\omega -\frac{1}{C\omega }\right)}=\frac{H_0}{1+jQ\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }\right)},$$ avec $H_0=\frac{R}{R+r}=0,833$, ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=3,16\times 10^4\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $Q=\frac{1}{R+r}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{316}{120}=2,64$. Passe-bande : $\underline{H}\to 0$ à basse et à haute fréquence ; $f_0=5033\mathrm{Hz}$. La résistance de la bobine diminue $H_0$ et $Q$.

2) La condition d'oscillation. Le signal fait le tour de la boucle en étant multiplié par $A\underline{H}(j\omega )$. Une sinusoïde se reproduit identique si $A\underline{H}(j\omega )=1$ : phase nulle, ce qui impose $\omega ={\omega }_0$ (seule pulsation où $\underline{H}$ est réel positif), et module unité, $A{H}_0=1$, soit $A_{\min }=1/H_0=1,20$.

3) Le démarrage. Tant que l'ALI est linéaire, ${\underline{v}}_a=A\underline{s}$ et $\left[1+jQ\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }\right)\right]\underline{s}=A{H}_0\underline{s}$. On multiplie par $j\omega {\omega }_0/Q$ et l'on remplace $j\omega$ par $\mathrm{d}/\mathrm{d}t$ : $$\ddot{s}+\frac{{\omega }_0}{Q}(1-A{H}_0)\dot{s}+{\omega }_0^{2}s=0.$$ Si $A{H}_0>1$, l'amortissement est négatif : $s$ est une sinusoïde d'amplitude $\propto e^{\sigma t}$, avec $\sigma =\frac{{\omega }_0(A{H}_0-1)}{2Q}$. Pour $A=1,3$ : $A{H}_0=1,083$ et $$\sigma =\frac{3,16\times 10^4\times 0,0833}{2\times 2,64}=500{\mathrm{s}}^{-1},$$ soit une amplitude multipliée par $e$ toutes les $2\mathrm{ms}$.

4) Durée d'établissement. De $1\mu \mathrm{V}$ à $10\mathrm{V}$, il faut un facteur $10^7$ : $t=\frac{\ln 10^7}{\sigma }=\frac{16,1}{500}=32\mathrm{ms}$, sous les $50\mathrm{ms}$ exigées. La pseudo-pulsation ${\omega }_0\sqrt{1-{\left(\frac{A{H}_0-1}{2Q}\right)}^2}$ ne diffère de ${\omega }_0$ que de $1,3\times 10^{-4}$ en valeur relative : l'oscillateur oscille bien à $f_0$. Un gain plus grand démarrerait plus vite, mais écrêterait davantage (exercice suivant).

(Allure : l'oscillation est dessinée à une fréquence réduite pour rester lisible ; l'enveloppe croît en $e^{\sigma t}$ jusqu'à l'écrêtage.)

Ce que l'exercice installe. Un passe-bande sous forme canonique ; la condition d'oscillation en phase (fréquence) et en module (gain minimal) ; le passage du complexe à l'équation différentielle qui montre le démarrage exponentiel ; et un ordre de grandeur de la durée d'établissement.