électronique (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

L'écran FFT d'un oscilloscope : quelles raies sont vraies ?

Production, acquisition et traitement d'un signal · B. Acquisition numérique : échantillonnage · niveau 2

Énoncé

Un générateur délivre un signal triangulaire symétrique de fréquence $f_{0} = 1, 30 kHz$ . On rappelle qu'un tel signal ne contient que des harmoniques de rang impair $n$ , d'amplitudes proportionnelles à $1/ n^{2}$ . L'oscilloscope de l'exercice précédent ( $M = 2500$ points, $T_{acq} = 10 \times$ base) est réglé à $20 ms/div$ , en mode FFT ; il affiche les niveaux en décibels par rapport à la raie la plus haute et n'affiche que les raies au-dessus de $- 45 dB$ . On relève :

$f$ (kHz)	$0, 8$	$1, 3$	$1, 8$	$3, 4$	$3, 9$	$4, 4$	$6, 0$
niveau (dB)	$- 38, 2$	$0$	$- 41, 7$	$- 33, 8$	$- 19, 1$	$- 44, 6$	$- 28, 0$

1) Calculer $f_{e}$ et l'étendue de l'axe des fréquences affiché.

2) Quelles raies peuvent appartenir au signal ? Laquelle prouve sans aucun calcul que l'écran montre des raies repliées ?

3) Pour chaque raie fausse, retrouver l'harmonique dont elle provient. Les niveaux confirment-ils l'attribution ?

4) On passe à $10 ms/div$ . Prévoir le nouvel écran. En déduire un test expérimental qui démasque les raies repliées sans rien calculer.

Corrigé

La stratégie. Les vraies raies sont aux multiples impairs de $f_{0}$ , avec un niveau en $- 40 lo g n$ dB. Toute autre raie est un harmonique replié par $f_{a} = ∣ n f_{0} - k f_{e} ∣$ ; son niveau, qui est celui de l'harmonique d'origine, signe son rang.

1) L'axe. $T_{acq} = 0, 2 s$ , $f_{e} = 2 500/0, 2 = 12, 5 kHz$ : l'écran va de $0$ à $f_{N} = 6, 25 kHz$ .

2) Vraies et fausses. Les harmoniques sous $6, 25 kHz$ sont $1, 3$ ; $3, 9$ ; $6, 5$ (non : $6, 5 > 6, 25$ ). Seules $1, 3 kHz$ ( $0 dB$ ) et $3, 9 kHz$ ( $- 19, 1 dB = 20 lo g \frac{1}{9}$ ) sont vraies. La raie à $0, 8 kHz$ prouve le repliement sans calcul : un signal périodique de fréquence $1, 3 kHz$ ne peut contenir aucune composante entre $0$ et sa fréquence fondamentale.

3) L'attribution.

raie (kHz)	rang $n$	$n f_{0}$ (kHz)	repliée en	niveau attendu $20 lo g (1/ n^{2})$
$6, 0$	$5$	$6, 5$	$12, 5 - 6, 5$	$- 28, 0 dB$
$3, 4$	$7$	$9, 1$	$12, 5 - 9, 1$	$- 33, 8 dB$
$0, 8$	$9$	$11, 7$	$12, 5 - 11, 7$	$- 38, 2 dB$
$1, 8$	$11$	$14, 3$	$14, 3 - 12, 5$	$- 41, 7 dB$
$4, 4$	$13$	$16, 9$	$16, 9 - 12, 5$	$- 44, 6 dB$

Les niveaux relevés sont exactement ceux des harmoniques d'origine : l'attribution est confirmée. Le rang 15 ( $19, 5 kHz$ , replié à $5, 5 kHz$ ) est à $- 47 dB$ , sous le seuil d'affichage.

4) Le test. À $10 ms/div$ : $f_{e} = 25 kHz$ , $f_{N} = 12, 5 kHz$ . Les vraies raies restent en place et de nouvelles vraies apparaissent : $1, 3$ ; $3, 9$ ; $6, 5$ ; $9, 1$ ; $11, 7 kHz$ . Les raies repliées bougent : le rang 11 apparaît à $25 - 14, 3 = 10, 7 kHz$ , le rang 13 à $8, 1 kHz$ . Test : changer la fréquence d'échantillonnage ; une raie qui se déplace est repliée, une raie qui reste est vraie. Le remède est, comme toujours, un passe-bas avant l'acquisition, ou une fréquence d'échantillonnage plus grande.

Ce que l'exercice installe. Reconnaître une raie repliée : par sa fréquence (aucune raie sous le fondamental d'un signal périodique ; seulement des multiples), par son niveau (celui de l'harmonique d'origine), et par l'expérience (elle se déplace quand on change $f_{e}$ ). La formule $f_{a} = ∣ n f_{0} - k f_{e} ∣$ appliquée rang par rang.

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