électronique (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Le spectre de l'oscillateur : où prélever le signal ?

Production, acquisition et traitement d'un signal · A. Production d'un signal : l'oscillateur quasi-sinusoïdal · niveau 2

Énoncé

On reprend l'oscillateur de l'exercice précédent ( $Q = 2, 64$ , $A = 1, 3$ ). L'analyse spectrale (mode FFT de l'oscilloscope) de la sortie de l'ALI, écrêtée, montre une raie à $f_{0}$ et une raie à $3 f_{0}$ de niveau $- 15 dB$ par rapport à celle de $f_{0}$ ; les autres harmoniques sont plus faibles. On veut fournir à l'utilisateur un signal dont l'harmonique 3 soit inférieur à $1 %$ du fondamental ( $- 40 dB$ ).

1) Pourquoi la sortie de l'ALI contient-elle surtout des harmoniques impairs ? Que représente le qualificatif « quasi » de « quasi-sinusoïdal » ?

2) On prélève plutôt la tension $s$ , en sortie du filtre. Montrer que le filtre atténue l'harmonique 3, relativement au fondamental, du facteur $\frac{1}{1 + Q ^{2} ( 3 - 1/3 ) ^{2}}$ . Calculer le niveau de l'harmonique 3 dans $s$ . L'exigence est-elle remplie ?

3) Quel facteur de qualité minimal faut-il ? Proposer de nouvelles valeurs de $R$ et de $r$ (même $L$ , même $C$ ) qui le donnent. Que devient $A_{m i n}$ ?

4) Indiquer un second levier, qui agit sur l'amplificateur.

Corrigé

La stratégie. L'écrêtage symétrique crée des harmoniques impairs ; le filtre, centré sur $f_{0}$ , les atténue d'autant plus qu'il est sélectif. On compare la sélectivité à l'exigence.

1) Les harmoniques. L'amplitude croît jusqu'à ce que l'ALI sature : la sortie de l'ALI est une sinusoïde aux sommets écrêtés à $\pm V_{sat}$ . Cet écrêtage est symétrique (il ne distingue pas les alternances), ce qui ne produit que des harmoniques de rang impair. L'amplitude se stabilise quand le gain moyen vu par le fondamental est ramené à $1/ H_{0}$ . « Quasi » : le signal est périodique de fréquence $f_{0}$ , mais pas rigoureusement sinusoïdal.

2) Le filtre comme nettoyeur. À $3 ω_{0}$ , $\frac{ω}{ω _{0}} - \frac{ω _{0}}{ω} = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$ , d'où $\frac{∣ H ( 3 ω _{0} )∣}{H _{0}} = \frac{1}{1 + ( \frac{8 Q}{3} ) ^{2}} = \frac{1}{1 + 7 , 0 3 ^{2}} = 0, 141.$ L'harmonique 3, à $- 15 dB$ soit $0, 178$ en sortie de l'ALI, est à $0, 178 \times 0, 141 = 0, 025$ dans $s$ , soit $2, 5 %$ , $- 32 dB$ : mieux, mais l'exigence de $1 %$ n'est pas remplie.

3) Le facteur de qualité. Il faut $\frac{0 , 178}{1 + ( 8 Q /3 ) ^{2}} \leq 0, 01$ , soit $Q \geq 6, 7$ . Avec $L / C = 316 Ω$ : $R + r \leq 47 Ω$ . Par exemple $R = 30 Ω$ et une bobine de $r = 15 Ω$ (fil plus gros) : $Q = 316/45 = 7, 0$ , harmonique 3 à $0, 95 %$ ( $- 40, 5 dB$ ). Mais $H_{0} = 30/45 = 0, 667$ et $A_{m i n} = 1, 5$ : il faut régler $R_{2} / R_{1}$ un peu au-dessus de $0, 5$ .

4) L'amplificateur. Régler $A$ juste au-dessus de $A_{m i n}$ : l'amplitude se stabilise avec un écrêtage plus léger, donc un harmonique 3 plus faible à la source. Le prix est un démarrage plus lent ( $σ \propto A H_{0} - 1$ ) et une amplitude plus sensible aux dérives des composants. La solution radicale est une stabilisation sans écrêtage, par un gain qui s'ajuste lentement (problème final).

Ce que l'exercice installe. Lire un spectre d'oscillateur : harmoniques impairs d'un écrêtage symétrique ; le filtre sélectif comme nettoyeur spectral, d'efficacité $1/ 1 + (8 Q /3)^{2}$ sur l'harmonique 3 ; prélever le signal après le filtre ; et le compromis gain, démarrage, pureté.

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