électronique (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Mesurer une fréquence par comparaison : multiplieur et passe-bas

Production, acquisition et traitement d'un signal · C. Traitement : la détection synchrone · niveau 2

Énoncé

On veut mesurer à $0, 1 Hz$ près la fréquence $f$ , voisine de $1 kHz$ , d'un oscillateur dont le signal est $s (t) = S cos (2 π f t)$ , $S = 5 V$ . On dispose d'un générateur de référence de fréquence $f_{r}$ affichée très précisément, $r (t) = R_{0} cos (2 π f_{r} t)$ , $R_{0} = 5 V$ , d'un multiplieur analogique qui délivre $p = k s r$ avec $k = 0, 10 V^{- 1}$ , et d'un filtre passe-bas $R C$ du premier ordre ( $R = 8, 0 kΩ$ , $C = 1, 0 μ F$ ).

1) Écrire $p (t)$ comme une somme de deux sinusoïdes. Quelles sont leurs fréquences et leur amplitude commune ?

2) Calculer la fréquence de coupure du filtre et son atténuation à $2 kHz$ et à $4 Hz$ . Décrire $v (t)$ pour $f_{r} = 1000, 0 Hz$ .

3) On observe sur $v$ une sinusoïde lente : dix périodes durent $2, 50 s$ , mesurées à $\pm 0, 01 s$ . Que vaut $∣ f - f_{r} ∣$ , avec quelle incertitude ? L'exigence est-elle remplie ?

4) La mesure ne donne que la valeur absolue de l'écart. Comment lever l'ambiguïté du signe avec le même matériel ? Pourquoi cette méthode est-elle plus précise que la lecture directe de la période de $s$ sur l'écran ?

Corrigé

La stratégie. Le produit de deux sinusoïdes est une somme de sinusoïdes aux fréquences somme et différence : le passe-bas garde la différence, lente et facile à mesurer. On transpose une mesure de $1 kHz$ en une mesure de quelques hertz.

1) Le produit. Par $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ : $p (t) = \frac{k S R _{0}}{2} [cos (2 π (f - f_{r}) t) + cos (2 π (f + f_{r}) t)],$ deux composantes, à $∣ f - f_{r} ∣$ (quelques hertz) et à $f + f_{r} \approx 2 kHz$ , d'amplitude $\frac{k S R _{0}}{2} = 1, 25 V$ chacune.

2) Le filtre. $f_{c} = \frac{1}{2 π R C} = 19, 9 Hz$ . Gain $\frac{1}{1 + ( f / f _{c} ) ^{2}}$ : $0, 010$ ( $- 40 dB$ ) à $2 kHz$ , $0, 98$ à $4 Hz$ . En sortie : une sinusoïde à $∣ f - f_{r} ∣$ d'amplitude $1, 23 V$ , à laquelle se superpose un résidu de $12 mV$ à $2 kHz$ , négligeable.

3) La mesure. Période $0, 250 s$ , donc $∣ f - f_{r} ∣ = 4, 00 Hz$ . L'incertitude : $Δ f = 10/ t$ avec $t = 2, 50 \pm 0, 01 s$ , d'où $u (Δ f) = Δ f \frac{0 , 01}{2 , 50} = 0, 016 Hz$ . Donc $f = 1004, 00 \pm 0, 02 Hz$ ou $996, 00 \pm 0, 02 Hz$ , si la référence est elle-même juste à mieux que ça : l'exigence de $0, 1 Hz$ est remplie.

4) Le signe. On augmente $f_{r}$ de $1 Hz$ : si $f = 1004 Hz$ , le battement passe à $3 Hz$ (plus lent) ; si $f = 996 Hz$ , à $5 Hz$ (plus rapide). La méthode est précise parce que l'erreur absolue sur $f$ est celle sur un écart de $4 Hz$ , mesuré sur une longue durée : lire la période de $s$ à l'écran ( $1 ms$ ) à $1 %$ près donnerait $\pm 10 Hz$ . Toute la précision est reportée sur la référence.

Ce que l'exercice installe. Le multiplieur comme translateur de fréquence ; le passe-bas qui sépare la différence de la somme ; la mesure d'une fréquence par comparaison avec une fréquence voisine connue, protocole expérimental du programme ; et la propagation d'une incertitude sur une durée.

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