électronique (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Problème : le premier oscillateur à pont de Wien du commerce (1939), et sa lampe

Production, acquisition et traitement d'un signal · A. Production d'un signal : l'oscillateur quasi-sinusoïdal · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le premier oscillateur à pont de Wien vendu comme appareil de laboratoire (1939) produisait une sinusoïde de $20 Hz$ à $20 kHz$ , très pure, pour tester les équipements audio. On en étudie le principe avec un ALI. La sortie $s$ d'un amplificateur non inverseur, de gain $A = 1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}$ , attaque un pont de Wien : une branche $R$ , $C$ en série, suivie d'une branche $R$ , $C$ en parallèle, aux bornes de laquelle on prélève la tension $v$ renvoyée sur l'entrée non inverseuse. La résistance $R_{1}$ est une petite lampe à incandescence, dont la résistance croît avec la puissance qu'elle reçoit : $R_{1} = 300 + 40 U_{ℓ}^{2}$ (en ohms, $U_{ℓ}$ tension efficace aux bornes de la lampe en volts ; donnée de l'énoncé, valable en régime établi). $R_{2} = 1, 0 kΩ$ . Exigence : harmonique 3 inférieur à $1 %$ du fondamental.

1) Montrer que la fonction de transfert du pont de Wien vaut $H = \frac{v}{s} = \frac{1}{3 + j ( x - \frac{1}{x} )}$ , avec $x = R C ω$ . L'écrire sous forme canonique de passe-bande : $H_{0}$ , $ω_{0}$ , $Q$ .

2) Établir la condition d'oscillation : fréquence d'oscillation et valeur du gain $A$ . Quelle résistance de lampe la réalise ?

3) Au démarrage, la lampe est froide ( $300 Ω$ ). Calculer $A$ , puis le taux de croissance $σ$ de l'amplitude à $1 kHz$ (on admettra le résultat $σ = \frac{ω _{0} ( A H _{0} - 1 )}{2 Q}$ , établi pour tout passe-bande bouclé du deuxième ordre).

4) Les fréquences de $20 Hz$ à $20 kHz$ s'obtiennent en trois gammes, avec une capacité variable de $0, 5$ à $5 nF$ (les deux $C$ commandés ensemble) et trois paires de résistances $R$ commutées. Calculer ces résistances.

5) Si l'amplitude était limitée par la saturation de l'ALI, la sortie présenterait un harmonique 3 à $- 15 dB$ . Montrer qu'avec $Q = 1/3$ le pont de Wien ne l'atténue, relativement au fondamental, que d'un facteur $0, 75$ . L'exigence serait-elle remplie ? Expliquer comment la lampe stabilise l'amplitude sans écrêter ; pourquoi sa constante de temps thermique doit-elle être grande devant la période ?

6) Calculer, en régime établi, la tension efficace aux bornes de la lampe et l'amplitude de la sortie. Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie. Un pont diviseur d'impédances complexes donne le filtre ; la condition « gain de boucle égal à $1$ » donne la fréquence et le gain. Puis le point original de l'appareil : un filtre peu sélectif, compensé par une régulation d'amplitude lente qui garde l'amplificateur linéaire.

1) Le pont de Wien. Impédance série $Z_{s} = R + \frac{1}{j C ω}$ , admittance parallèle $Y_{p} = \frac{1}{R} + j C ω$ . Diviseur de tension : $H = \frac{1/ Y _{p}}{Z _{s} + 1/ Y _{p}} = \frac{1}{1 + Z _{s} Y _{p}},$ $Z_{s} Y_{p} = (R + \frac{1}{j C ω}) (\frac{1}{R} + j C ω) = 2 + j (R C ω - \frac{1}{R C ω}) .$ D'où $H = \frac{1}{3 + j ( x - 1/ x )} = \frac{1/3}{1 + \frac{j}{3} ( x - \frac{1}{x} )}$ : passe-bande avec $H_{0} = \frac{1}{3}$ , $ω_{0} = \frac{1}{R C}$ , $Q = \frac{1}{3}$ , un filtre peu sélectif.

2) La condition d'oscillation. $A H (j ω) = 1$ . Phase nulle : $x = 1$ , soit $ω_{0} = \frac{1}{R C}$ , $f_{0} = \frac{1}{2 π R C}$ . Module : $A \times \frac{1}{3} = 1$ , soit $A = 3$ , donc $\frac{R _{2}}{R _{1}} = 2$ et $R_{1} = 500 Ω$ .

3) Le démarrage. Lampe froide : $A = 1 + \frac{1 000}{300} = 4, 33$ ; $A H_{0} - 1 = 0, 444$ et $σ = \frac{ω _{0} \times 0 , 444}{2/3} = 0, 667 ω_{0} = 4, 2 \times 1 0^{3} s^{- 1} a ˋ 1 kHz .$ L'amplitude est multipliée par $e$ en un quart de milliseconde : l'oscillateur démarre en quelques millisecondes. À mesure que l'amplitude croît, la lampe chauffe, $R_{1}$ augmente et $A$ diminue vers $3$ .

4) Les gammes. $R = \frac{1}{2 π f _{0} C}$ . Gamme $20$ – $200 Hz$ : $R = \frac{1}{2 π \times 20 \times 5 \times 1 0 ^{- 9}} = 1, 59 MΩ$ (et $200 Hz$ à $C = 0, 5 nF$ ). Gamme $200$ – $2000 Hz$ : $159 kΩ$ . Gamme $2$ – $20 kHz$ : $15, 9 kΩ$ . Une capacité variable couvre un rapport $10$ en fréquence, ce que ne permettrait pas un circuit $L C$ (rapport $10$ seulement, et des bobines énormes à $20 Hz$ ).

5) La pureté. À $3 ω_{0}$ : $Q (3 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{9}$ et $\frac{1}{1 + ( 8/9 ) ^{2}} = 0, 75$ . Un harmonique 3 à $- 15 dB$ ( $17, 8 %$ ) serait encore à $13 %$ en sortie : l'exigence de $1 %$ serait manquée de loin, et aucun réglage du filtre n'y changerait rien (le pont de Wien a toujours $Q = 1/3$ ). La lampe résout le problème : sa résistance dépend de la puissance moyenne qu'elle reçoit, sur une durée fixée par sa constante de temps thermique (de l'ordre du dixième de seconde). Pendant une période du signal, $R_{1}$ ne varie presque pas : l'amplificateur est linéaire à chaque instant, de gain constant, et la sortie reste sinusoïdale. D'une période à l'autre, $R_{1}$ s'ajuste lentement jusqu'à $A = 3$ exactement. Il faut que cette constante de temps soit grande devant la plus longue période, $1/20 Hz = 50 ms$ , sinon la lampe suivrait chaque alternance et redeviendrait une non-linéarité instantanée.

6) Le régime établi. $R_{1} = 500 Ω$ exige $40 U_{ℓ}^{2} = 200$ , soit $U_{ℓ} = 2, 24 V$ . La lampe est entre l'entrée inverseuse et la masse ; en régime linéaire, sa tension est celle de l'entrée inverseuse, égale à $v = s /3$ : $S_{eff} = 3 U_{ℓ} = 6, 7 V$ , soit une amplitude de $9, 5 V$ , sous la saturation d'un ALI alimenté en $\pm 15 V$ : l'amplitude est fixée par la lampe, non par l'écrêtage.

Le résultat établi — la condition d'oscillation d'un oscillateur quasi-sinusoïdal. Un amplificateur de gain $A$ bouclé sur un filtre passe-bande $H$ oscille à la pulsation où le gain de boucle est réel, $ω_{0}$ , pourvu que $A H_{0} \geq 1$ ; l'oscillation démarre si $A H_{0} > 1$ , avec un taux de croissance $ω_{0} (A H_{0} - 1) /2 Q$ , et une non-linéarité ramène le gain effectif à $1/ H_{0}$ . Pour le pont de Wien, $f_{0} = \frac{1}{2 π R C}$ et $A = 3$ . Une non-linéarité lente (la lampe) donne une sinusoïde pure même avec un filtre peu sélectif.

Ce que le problème installe. Un filtre obtenu par diviseur d'impédances complexes et mis sous forme canonique ; la condition d'oscillation appliquée ; le lien entre la sélectivité $Q$ et la pureté spectrale ; et l'idée d'une stabilisation d'amplitude par une non-linéarité lente, qui distingue une régulation d'un écrêtage.

Exercices semblables

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre