électronique (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Une photodiode sous la lampe : la détection synchrone et le 50 Hz

Production, acquisition et traitement d'un signal · C. Traitement : la détection synchrone · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On mesure la très faible lumière transmise par un échantillon. Le faisceau est haché par un disque tournant à fentes, à la fréquence $f_{0}$ ; la photodiode et son amplificateur délivrent alors un signal utile dont le fondamental a l'amplitude $S_{0} = 10 μ V$ (donnée de l'énoncé). Le câblage capte aussi le secteur : parmi les parasites, les harmoniques du $50 Hz$ voisins de $f_{0}$ ont une amplitude de $0, 2 mV$ chacun. Un détecteur synchrone multiplie le signal par deux références, $cos (2 π f_{0} t)$ et $- sin (2 π f_{0} t)$ , prélevées sur le disque, puis filtre chaque voie par un passe-bas du premier ordre de constante de temps $τ$ . On exige que l'ondulation résiduelle de chaque voie soit inférieure à $2 %$ de $S_{0} /2$ .

1) Écrire le signal utile $S_{0} cos (2 π f_{0} t + φ)$ et montrer que les deux voies donnent $X = \frac{S _{0}}{2} cos φ$ et $Y = \frac{S _{0}}{2} sin φ$ . On lit $X = 3, 0 μ V$ et $Y = 4, 0 μ V$ : en déduire $S_{0}$ et $φ$ . Pourquoi faut-il le signe de $X$ pour déterminer $φ$ ?

2) On choisit $f_{0} = 325 Hz$ . À quelles fréquences les parasites à $300$ et $350 Hz$ se retrouvent-ils après multiplication ? Quel est le rôle du passe-bas ?

3) En majorant l'effet des deux parasites, déterminer la fréquence de coupure maximale du passe-bas, la constante de temps minimale et la durée d'une mesure (on attend $5 τ$ ).

4) Pourquoi ne pas choisir $f_{0} = 317 Hz$ ? Pourquoi pas $f_{0} = 300 Hz$ ? En déduire une règle de choix de $f_{0}$ .

Corrigé

La stratégie. Multiplier par la référence ramène le signal utile à une tension continue, et chaque parasite à la fréquence de son écart avec $f_{0}$ ; le passe-bas ne laisse passer que ce qui est très proche de $f_{0}$ : un passe-bande de largeur $2 f_{c}$ centré sur $f_{0}$ .

1) Les deux voies. $S_{0} cos (ω_{0} t + φ) cos ω_{0} t = \frac{S _{0}}{2} cos φ + \frac{S _{0}}{2} cos (2 ω_{0} t + φ),$ $- S_{0} cos (ω_{0} t + φ) sin ω_{0} t = \frac{S _{0}}{2} sin φ - \frac{S _{0}}{2} sin (2 ω_{0} t + φ) .$ Le passe-bas ne garde que les termes continus : $X = \frac{S _{0}}{2} cos φ$ , $Y = \frac{S _{0}}{2} sin φ$ . Donc $S_{0} = 2 X^{2} + Y^{2} = 2 \times 5, 0 = 10 μ V$ et $tan φ = 4/3$ ; $X > 0$ place $φ$ dans $] - π /2, π /2 [$ : $φ = 5 3^{\circ}$ . Avec $X < 0$ et le même rapport, on aurait $φ = 23 3^{\circ}$ : la tangente ne connaît $φ$ qu'à $π$ près.

2) Les parasites. Un parasite $B cos (2 π f t)$ donne après multiplication deux termes d'amplitude $B /2 = 0, 1 mV$ , aux fréquences $∣ f - f_{0} ∣$ et $f + f_{0}$ : ici $∣ 300 - 325 ∣ = 25 Hz$ et $∣ 350 - 325 ∣ = 25 Hz$ (et $625$ , $675 Hz$ ). Le passe-bas doit les éteindre pour ne garder que le terme continu. Seul un parasite à moins de $f_{c}$ de $f_{0}$ passerait : la chaîne est un passe-bande de largeur $2 f_{c}$ centré sur $f_{0}$ .

3) La constante de temps. À $25 Hz ≫ f_{c}$ , le gain du passe-bas vaut environ $f_{c} /25$ . En majorant (les deux parasites en phase), l'ondulation vaut $2 \times 0, 1 mV \times \frac{f _{c}}{25}$ , à comparer à $2 %$ de $S_{0} /2$ , soit $0, 1 μ V$ : $f_{c} \leq \frac{25 \times 0 , 1 \times 1 0 ^{- 6}}{2 \times 1 0 ^{- 4}} = 0, 0125 Hz, τ = \frac{1}{2 π f _{c}} \geq 12, 7 s .$ Chaque mesure demande $5 τ \approx 64 s$ . C'est le prix de la sélectivité : un passe-bande large de $0, 025 Hz$ autour de $325 Hz$ , qui extrait $10 μ V$ sous $0, 2 mV$ de parasites, vingt fois plus grands.

4) Le choix de $f_{0}$ . À $317 Hz$ , l'harmonique de $300 Hz$ n'est qu'à $17 Hz$ : il faudrait $f_{c} \leq 0, 0085 Hz$ et $τ \geq 19 s$ . À $300 Hz$ , le parasite tomberait exactement sur $f_{0}$ : il donnerait une tension continue indiscernable du signal, aucun filtre ne l'éliminerait. Règle : choisir $f_{0}$ à mi-chemin entre deux harmoniques du secteur (multiples de $50 Hz$ ), et loin du bruit en $1/ f$ des basses fréquences.

Ce que l'exercice installe. La détection synchrone en quadrature : amplitude par $2 X^{2} + Y^{2}$ , phase par $X$ et $Y$ ensemble ; la translation de chaque parasite à l'écart $∣ f - f_{0} ∣$ ; le passe-bande virtuel de largeur $2 f_{c}$ ; et le compromis sélectivité, durée de mesure, qui guide le choix de $f_{0}$ .

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