électronique (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Convertisseur numérique-analogique à résistances pondérées : le sommateur

Rétroaction et amplificateur linéaire intégré · A. Montages linéaires · niveau 2

Énoncé

Un convertisseur numérique-analogique (CNA) de $4$ bits $b_{3} b_{2} b_{1} b_{0}$ (chaque $b_{k}$ vaut $0$ ou $1$ ) est réalisé par un sommateur inverseur. Le bit $b_{k}$ commande un interrupteur qui relie une résistance $R_{k}$ soit à la tension de référence $V_{0} = 5, 0 V$ (si $b_{k} = 1$ ), soit à la masse (si $b_{k} = 0$ ) ; l'autre extrémité de chaque $R_{k}$ est reliée à l'entrée $-$ de l'ALI, dont l'entrée $+$ est à la masse ; une résistance $R_{f}$ relie l'entrée $-$ à la sortie. On prend $R_{3} = R = 10 kΩ$ , $R_{2} = 2 R$ , $R_{1} = 4 R$ , $R_{0} = 8 R$ .

1) Établir l'expression de $s$ en fonction des $b_{k}$ , puis en fonction du nombre $N = 8 b_{3} + 4 b_{2} + 2 b_{1} + b_{0}$ .

2) Choisir $R_{f}$ pour que le pas de conversion (quantum) vaille $0, 50 V$ . Quelle est la tension pleine échelle ? L'ALI sature-t-il ? Quel courant débite-t-il au plus dans $R_{f}$ ?

3) Pourquoi le courant dans une branche ne dépend-il pas de la position des autres interrupteurs ? En quoi est-ce essentiel ?

4) La résistance du bit de poids fort est trop forte de $1 %$ . Quelle erreur sur la sortie, comparée au demi-quantum ? Généraliser : quelle précision relative faut-il sur cette résistance pour un CNA de $n$ bits ? Conclure pour $8$ et $12$ bits.

Corrigé

La stratégie. Masse virtuelle, puis loi des nœuds en $N$ : les courants des branches s'additionnent et traversent $R_{f}$ .

1) Le sommateur. Rétroaction sur l'entrée $-$ , entrée $+$ à la masse : $V_{-} = 0$ . Le courant de la branche $k$ vaut $\frac{b _{k} V _{0} - 0}{R _{k}}$ ; leur somme traverse $R_{f}$ ( $i_{-} = 0$ ), où elle vaut $\frac{0 - s}{R _{f}}$ : $s = - R_{f} V_{0} (\frac{b _{3}}{R} + \frac{b _{2}}{2 R} + \frac{b _{1}}{4 R} + \frac{b _{0}}{8 R}) = - \frac{R _{f}}{R} \frac{V _{0}}{8} (8 b_{3} + 4 b_{2} + 2 b_{1} + b_{0}) = - \frac{R _{f}}{R} \frac{V _{0}}{8} N .$ La sortie est proportionnelle au nombre codé : c'est la définition d'un CNA. Le signe moins se corrige par un inverseur de gain $- 1$ en aval, ou en prenant $V_{0} < 0$ .

2) Dimensionnement. Le quantum est le saut de tension pour $Δ N = 1$ : $q = \frac{R _{f}}{R} \frac{V _{0}}{8} = 0, 50 V$ exige $\frac{R _{f}}{R} = 0, 80$ , soit $R_{f} = 8, 0 kΩ$ . Pleine échelle ( $N = 15$ ) : $∣ s ∣ = 7, 5 V$ , inférieure à $13 V$ : pas de saturation. Le courant dans $R_{f}$ vaut au plus $\frac{7 , 5}{8 000} = 0, 94 mA$ , loin des $25 mA$ que peut débiter l'ALI.

3) Le rôle de la masse virtuelle. Chaque résistance a une extrémité à $V_{0}$ ou à $0$ , l'autre à la masse virtuelle $V_{-} = 0$ : la tension à ses bornes, donc son courant, ne dépend que de son propre bit. Sans ALI, sur une résistance de charge, la tension du nœud commun dépendrait de tous les bits à la fois et la relation entre $s$ et $N$ ne serait plus linéaire. De plus, la source $V_{0}$ débite un courant fixé par chaque bit : elle n'a pas besoin d'être parfaite au-delà de sa tension.

4) La précision exigée. Si $R_{3}$ vaut $1, 01 R$ , la contribution du bit de poids fort, $\frac{R _{f}}{R _{3}} V_{0} = 4, 0 V$ , est erronée de $1 %$ , soit $0, 040 V$ : inférieur au demi-quantum $0, 25 V$ , la conversion reste juste. En général, le bit de poids fort pèse la moitié de la pleine échelle, environ $2^{n - 1} q$ ; une erreur relative $ϵ$ sur sa résistance donne $ϵ 2^{n - 1} q$ , qui doit rester sous $q /2$ : $ϵ < 2^{- n}$ . Pour $4$ bits, $6 %$ ; pour $8$ bits, $0, 4 %$ (et un rapport $128$ entre résistances extrêmes) ; pour $12$ bits, $0, 024 %$ : irréalisable en résistances discrètes. Les CNA réels utilisent un réseau « $R$ - $2 R$ », qui n'emploie que deux valeurs de résistance (hors du champ de cet exercice).

Ce que l'exercice installe. La masse virtuelle découple les branches : le sommateur additionne des courants indépendants. Le dimensionnement se vérifie de bout en bout : gain, saturation en tension, courant de sortie. Et une contrainte de précision se chiffre en nombre de bits.

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