électronique (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Électrode de pH : prélever une tension sans la perturber

Rétroaction et amplificateur linéaire intégré · A. Montages linéaires · niveau 2

Énoncé

Une électrode de pH se comporte comme un générateur de tension $e = - 59, 2 mV \times (pH - 7)$ (à $25^{\circ} C$ ) en série avec une résistance interne $R_{i} = 100 MΩ$ (le verre de la membrane ; donnée de l'énoncé). On veut obtenir une tension de sortie de $1 V$ par unité de pH, en valeur absolue.

1) Un étudiant branche l'électrode sur un amplificateur inverseur ( $R_{1} = 10 kΩ$ , $R_{2} = 170 kΩ$ ). Exprimer la tension de sortie en tenant compte de $R_{i}$ . Quelle fraction du signal attendu obtient-il ? Et avec $R_{1} = 1 MΩ$ ?

2) Il utilise ensuite un amplificateur non inverseur. Établir la relation entre la sortie et la tension $e$ de l'électrode. Pourquoi $R_{i}$ n'intervient-il plus ?

3) Choisir $R_{2}$ avec $R_{1} = 10 kΩ$ . Quelle tension de sortie pour $pH = 0$ et $pH = 14$ ? L'ALI sature-t-il ?

4) Pour éliminer le $50 Hz$ ambiant, on fait suivre l'amplificateur d'un filtre passe-bas $R C$ ( $R = 10 kΩ$ , $C = 1, 0 μ F$ ), lu par une carte d'acquisition d'impédance d'entrée $10 kΩ$ . Calculer la fréquence de coupure prévue, puis l'effet de la carte sur le gain et la coupure. Que faut-il ajouter, et où ?

Corrigé

La stratégie. Écrire la loi des nœuds à l'entrée inverseuse avec les vrais courants ; l'impédance d'entrée du montage dit quelle part de la tension du capteur il « voit ». Pour la cascade, raisonner sur ce que chaque étage voit à sa sortie.

1) L'inverseur charge l'électrode. L'entrée $+$ est à la masse, le régime est linéaire (rétroaction sur l'entrée $-$ ) : $V_{-} = 0$ , la masse virtuelle. Le courant qui sort de l'électrode traverse $R_{i}$ puis $R_{1}$ , et vaut $i = \frac{e}{R _{i} + R _{1}}$ ; il continue dans $R_{2}$ puisque $i_{-} = 0$ . Donc $s = - R_{2} i = - \frac{R _{2}}{R _{i} + R _{1}} e = - \frac{170 \times 1 0 ^{3}}{100 , 01 \times 1 0 ^{6}} e = - 1, 7 \times 1 0^{- 3} e .$ Le montage voulait $- 17 e$ : il n'en obtient que la fraction $\frac{R _{1}}{R _{i} + R _{1}} = 1, 0 \times 1 0^{- 4}$ . L'impédance d'entrée de l'inverseur vaut $R_{1}$ : le générateur débite dans $R_{1}$ et presque toute sa tension tombe dans sa propre résistance interne. Avec $R_{1} = 1 MΩ$ , la fraction monte à $1 %$ seulement.

2) Le non inverseur ne prélève aucun courant. Le courant $i_{+}$ est nul : aucune chute de tension dans $R_{i}$ , donc $V_{+} = e$ exactement. En régime linéaire $V_{-} = V_{+} = e$ , et $V_{-}$ est donné par le diviseur $(R_{2}, R_{1})$ , non chargé puisque $i_{-} = 0$ : $V_{-} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} s = e ⟹ s = (1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) e .$ L'impédance d'entrée du montage est infinie : c'est elle qui rend $R_{i}$ inopérante. L'inverseur divise $R_{i}$ par rien ; le non inverseur la rend invisible.

3) Dimensionnement. Il faut $A = \frac{1}{0 , 0592} = 16, 9$ , soit $R_{2} = 15, 9 R_{1} = 159 kΩ$ . Avec la valeur normalisée $R_{2} = 160 kΩ$ : $A = 17, 0$ , soit $1, 006 V$ par unité de pH (l'écart de $0, 6 %$ se corrige à l'étalonnage, qui est de toute façon nécessaire car la pente dépend de la température). Aux extrêmes, $e = \mp 0, 414 V$ et $s = \mp 7, 04 V$ : loin de $\pm 13 V$ , l'ALI reste linéaire.

4) La cascade. Seul, le filtre $R C$ coupe à $f_{c} = \frac{1}{2 π R C} = 15, 9 Hz$ , ce qui atténue le $50 Hz$ d'un facteur $1 + (50/15, 9)^{2} = 3, 3$ . Chargé par $R_{L} = 10 kΩ$ , son condensateur voit en parallèle $R_{L}$ : le diviseur à basse fréquence vaut $\frac{R _{L}}{R + R _{L}} = 0, 5$ et la constante de temps devient $C \frac{R R _{L}}{R + R _{L}}$ , d'où une coupure doublée, $31, 8 Hz$ . La carte divise le signal par deux et filtre deux fois moins bien. Il faut un suiveur entre le filtre et la carte : impédance d'entrée infinie (le filtre n'est plus chargé), impédance de sortie nulle (la carte reçoit la tension du condensateur quel que soit son courant). En amont du filtre, l'ALI non inverseur joue déjà ce rôle (sortie de résistance nulle).

Ce que l'exercice installe. Un capteur de grande résistance interne exige un montage de grande impédance d'entrée : le non inverseur ou le suiveur, jamais l'inverseur. Dans une chaîne, chaque étage doit avoir une forte impédance d'entrée et une faible impédance de sortie : c'est la condition pour que la fonction de transfert globale soit le produit des fonctions de transfert, calculées chacune « à vide ».

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