électronique (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Lampe crépusculaire : un comparateur qui se souvient

Rétroaction et amplificateur linéaire intégré · B. Régime saturé : comparateurs · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une lampe d'éclairage public doit s'allumer à la tombée du jour et s'éteindre à l'aube. Une photorésistance, placée dans un pont diviseur, délivre une tension $v$ qui croît quand la lumière diminue : $v = 2, 0 V$ sous $40 lux$ , $v = 3, 0 V$ sous $20 lux$ . Le cahier des charges : allumer quand l'éclairement passe sous $20 lux$ , éteindre quand il repasse au-dessus de $40 lux$ . L'ALI est alimenté sous $\pm 15 V$ , $V_{sat} = 12 V$ ; la lampe est allumée quand $s = - V_{sat}$ .

1) On essaie d'abord un comparateur simple : $v$ sur l'entrée $-$ , une tension fixe de $2, 5 V$ sur l'entrée $+$ , aucune rétroaction. Donner la relation entrée-sortie. Le soir, des nuages font fluctuer $v$ de $\pm 0, 2 V$ autour de $2, 5 V$ pendant de longues minutes : que fait la lampe ?

2) On réalise un comparateur à hystérésis inverseur : $v$ sur l'entrée $-$ ; l'entrée $+$ est reliée à la sortie par $R_{2}$ et à une tension de référence $V_{0}$ par $R_{1}$ .

Pourquoi l'ALI fonctionne-t-il en régime saturé ? Établir les deux seuils de basculement en fonction de $k = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}$ , $V_{0}$ et $V_{sat}$ , et tracer le cycle $s (v)$ .

3) Choisir $k$ (donc $R_{2} / R_{1}$ ) et $V_{0}$ pour respecter le cahier des charges. Avec $R_{1} = 10 kΩ$ et la valeur normalisée $R_{2} = 220 kΩ$ , que deviennent les seuils ?

4) Les fluctuations de la question 1 font-elles encore basculer la lampe ? Énoncer la condition sur le bruit.

5) À $v = 2, 5 V$ , la lampe est-elle allumée ? En quoi ce montage a-t-il une « mémoire » ?

6) On applique en entrée une tension sinusoïdale $v = 2, 5 + 1, 5 cos (ω t)$ (en volts). Décrire la sortie. Que dire de son spectre ?

Corrigé

La stratégie. Reconnaître le régime par le câblage ; en régime saturé, la sortie vaut $\pm V_{sat}$ selon le signe de $ε = V_{+} - V_{-}$ ; un seuil est la valeur de l'entrée qui annule $ε$ , calculée pour chacun des deux états de la sortie.

1) Le comparateur simple. Aucune rétroaction : régime saturé. $ε = 2, 5 - v$ : $s = + V_{sat}$ si $v < 2, 5 V$ (jour), $s = - V_{sat}$ si $v > 2, 5 V$ (nuit). Un seul seuil. Quand $v$ fluctue autour de $2, 5 V$ , la sortie bascule à chaque passage : la lampe clignote pendant tout le crépuscule, ce qui la détruit en quelques semaines. Le seuil unique est aussi en contradiction avec le cahier des charges, qui en demande deux.

2) Le comparateur à hystérésis. La seule rétroaction arrive sur l'entrée $+$ : indice d'un régime saturé (une augmentation de $s$ augmente $V_{+}$ , donc $ε$ , donc $s$ : la rétroaction renforce l'écart au lieu de le corriger). Le théorème de Millman, ou la loi des nœuds en $P$ (aucun courant n'entre dans l'ALI), donne $V_{+} = \frac{R _{2} V _{0} + R _{1} s}{R _{1} + R _{2}} = (1 - k) V_{0} + k s .$ Si $s = + V_{sat}$ , $V_{+} = V_{H} = (1 - k) V_{0} + k V_{sat}$ : la sortie reste haute tant que $v < V_{H}$ , et bascule quand $v$ dépasse $V_{H}$ . Si $s = - V_{sat}$ , $V_{+} = V_{B} = (1 - k) V_{0} - k V_{sat}$ : la sortie reste basse tant que $v > V_{B}$ et rebascule quand $v$ redescend sous $V_{B}$ . Deux seuils, centrés sur $(1 - k) V_{0}$ , distants de $2 k V_{sat}$ .

3) Réglage. Le cahier des charges impose $V_{H} = 3, 0 V$ (allumage) et $V_{B} = 2, 0 V$ (extinction) : $2 k V_{sat} = 1, 0 V$ donne $k = \frac{1}{24}$ , soit $\frac{R _{2}}{R _{1}} = \frac{1}{k} - 1 = 23$ ; et $(1 - k) V_{0} = 2, 5 V$ donne $V_{0} = \frac{2 , 5}{1 - 1/24} = 2, 61 V$ . Avec $R_{2} = 220 kΩ$ : $k = \frac{10}{230} = 0, 0435$ , demi-largeur $k V_{sat} = 0, 52 V$ ; en gardant $(1 - k) V_{0} = 2, 5 V$ ( $V_{0} = 2, 61 V$ ), les seuils deviennent $1, 98$ et $3, 02 V$ , à $1 %$ près du cahier des charges.

4) Immunité au bruit. Une fois la lampe allumée (seuil actif $V_{B} = 2, 0 V$ ), il faudrait que $v$ redescende de $1, 0 V$ pour l'éteindre. Les fluctuations ont une amplitude crête à crête de $0, 4 V$ : elles ne suffisent pas, la lampe ne bascule qu'une fois. La condition est que l'amplitude crête à crête du bruit reste inférieure à la largeur du cycle $Δ = V_{H} - V_{B} = 2 k V_{sat}$ .

5) La mémoire. À $v = 2, 5 V$ , les deux états sont possibles : la lampe est allumée si l'on vient de la nuit, éteinte si l'on vient du jour. La sortie ne dépend pas seulement de l'entrée présente mais de son passé : c'est la définition de l'hystérésis, et le montage est une mémoire d'un bit.

6) Entrée sinusoïdale. $v$ oscille entre $1, 0$ et $4, 0 V$ et franchit les deux seuils à chaque période : la sortie est un signal créneau de même période, qui passe à $- V_{sat}$ quand $v$ monte au-dessus de $3, 0 V$ et revient à $+ V_{sat}$ quand $v$ redescend sous $2, 0 V$ . Les deux seuils étant symétriques par rapport à la valeur moyenne de $v$ , le créneau est de rapport cyclique $\frac{1}{2}$ , mais décalé dans le temps par rapport à la sinusoïde : le basculement se produit quand $cos (ω t) = \pm \frac{1}{3}$ , soit $9 0^{\circ} - arccos \frac{1}{3} = 19, 5^{\circ}$ après chaque passage de $v$ par sa valeur moyenne : l'hystérésis retarde la décision. Son spectre contient le fondamental et des harmoniques absents de l'entrée (les rangs impairs, ici) : un système linéaire ne crée aucune fréquence nouvelle, un système non linéaire en crée.

Ce que l'exercice installe. La rétroaction sur l'entrée $+$ signale un régime saturé ; les seuils se calculent pour chaque état de sortie. L'hystérésis apporte deux bénéfices liés : deux seuils distincts, que le cahier des charges demandait, et une immunité au bruit tant que son crête-à-crête reste sous la largeur du cycle. La sortie dépend du passé : c'est une mémoire.

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