électronique (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Les bornes inversées sur la plaquette : stabilité du régime linéaire

Rétroaction et amplificateur linéaire intégré · C. ALI réel : limites, stabilité, produit gain-bande · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On modélise l'ALI réel en régime linéaire par $V_{s} = μ (p) ε$ avec $μ (p) = \frac{μ _{0}}{1 + τ _{0} p}$ , $μ_{0} = 2, 0 \times 1 0^{5}$ , $f_{0} = \frac{1}{2 π τ _{0}} = 8, 0 Hz$ . On réalise un amplificateur non inverseur de gain $10$ : $R_{1} = 10 kΩ$ entre l'entrée $-$ et la masse, $R_{2} = 90 kΩ$ entre l'entrée $-$ et la sortie ; on note $G = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} = 0, 10$ . La sortie sature à $\pm 13 V$ .

1) Calculer $τ_{0}$ et commenter les ordres de grandeur de $μ_{0}$ et $τ_{0}$ .

2) Représenter le montage non inverseur par un schéma bloc (comparateur, chaîne directe $μ (p)$ , chaîne de retour $G$ ). Établir l'équation différentielle reliant $s$ à $e$ et conclure sur la stabilité. Donner le gain statique et la constante de temps du montage.

3) Par erreur, on câble $e$ sur l'entrée $-$ et le pont diviseur sur l'entrée $+$ . Établir la nouvelle équation différentielle. Le régime linéaire est-il stable ? Chiffrer la constante de temps de croissance et la durée pour qu'un écart de $1 mV$ atteigne la saturation.

4) Que devient alors le montage ? Calculer les seuils de basculement.

Corrigé

La stratégie. Écrire $ε = V_{+} - V_{-}$ pour chaque câblage, puis $(1 + τ_{0} p) s = μ_{0} ε$ ; appliquer le critère des signes de l'ordre 1.

1) Ordres de grandeur. $τ_{0} = \frac{1}{2 π \times 8 , 0} = 20 ms$ . Un gain statique de quelques $1 0^{5}$ et une constante de temps de l'ordre de $10 ms$ : en boucle ouverte, l'ALI est un amplificateur énorme et très lent ; c'est la boucle qui le rend rapide.

2) Le montage correct, stable. Le schéma bloc : l'entrée $e$ et le retour $G s$ arrivent sur un soustracteur qui forme $ε = e - G s$ , suivi de $μ (p)$ .

$V_{+} = e$ , $V_{-} = G s$ (diviseur non chargé), donc $(1 + τ_{0} p) s = μ_{0} (e - G s)$ , soit $τ_{0} s ˙ + (1 + μ_{0} G) s = μ_{0} e .$ Les deux coefficients $τ_{0}$ et $1 + μ_{0} G$ sont positifs : stable. Le pôle vaut $- \frac{1 + μ _{0} G}{τ _{0}} = - \frac{20 001}{0 , 0199} = - 1, 0 \times 1 0^{6} s^{- 1}$ . Gain statique $\frac{μ _{0}}{1 + μ _{0} G} = 9, 9995$ , à $5 \times 1 0^{- 5}$ près de $1/ G = 10$ ; constante de temps $\frac{τ _{0}}{1 + μ _{0} G} = 1, 0 μ s$ : la boucle a divisé la constante de temps par $20000$ , autant que le gain.

3) Les bornes inversées. Maintenant $V_{+} = G s$ et $V_{-} = e$ : $(1 + τ_{0} p) s = μ_{0} (G s - e)$ , soit $τ_{0} s ˙ + (1 - μ_{0} G) s = - μ_{0} e .$ Le coefficient $1 - μ_{0} G = 1 - 20000$ est négatif, $τ_{0}$ positif : signes contraires, instable. Le régime libre croît comme $e^{t / τ_{c}}$ avec $τ_{c} = \frac{τ _{0}}{μ _{0} G - 1} = \frac{0 , 0199}{19 999} = 1, 0 μ s,$ et un écart de $1 mV$ atteint $13 V$ en $τ_{c} ln (13000) = 9, 4 μ s$ . Le régime linéaire est un équilibre instable : il n'existe pas en pratique. La sortie part à $\pm 13 V$ et y reste.

4) Un comparateur à hystérésis. Les composants n'ont pas changé, mais l'entrée attaque l'entrée $-$ et la seule rétroaction arrive sur l'entrée $+$ : c'est exactement le comparateur à hystérésis inverseur, avec $V_{+} = G s = \pm G V_{sat}$ . Les seuils sont $e = \pm G V_{sat} = \pm 1, 3 V$ : l'étudiant qui attendait un amplificateur de gain $10$ obtient un signal qui vaut $+ 13 V$ ou $- 13 V$ , et ne bascule que quand $e$ dépasse $1, 3 V$ en valeur absolue.

Ce que l'exercice installe. La règle « rétroaction sur $-$ : régime linéaire probable ; sur $+$ : saturation probable » se démontre avec le modèle du premier ordre et le critère des signes : le même pont diviseur, selon la borne où il revient, donne un pôle à $- 1 0^{6} s^{- 1}$ ou à $+ 1 0^{6} s^{- 1}$ . L'ALI en boucle ouverte est lent ( $τ_{0} \sim 10 ms$ ) ; en boucle fermée, il réagit en une microseconde.

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