électronique (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Problème : le préamplificateur d'un microphone, ou pourquoi le produit gain-bande se conserve

Rétroaction et amplificateur linéaire intégré · C. ALI réel : limites, stabilité, produit gain-bande · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un microphone dynamique délivre quelques millivolts ( $2 mV$ crête pour une voix forte) ; la carte son qui suit attend environ $2 V$ crête. Il faut donc un gain de $1000$ sur toute la bande audio, de $20 Hz$ à $20 kHz$ (fréquence de coupure à $- 3 dB$ d'au moins $20 kHz$ ). On dispose d'ALI de gain statique $μ_{0} = 2, 0 \times 1 0^{5}$ , de fréquence de coupure en boucle ouverte $f_{0} = 8, 0 Hz$ et de vitesse limite de balayage $0, 5 V μ s^{- 1}$ , modélisés par $μ (p) = \frac{μ _{0}}{1 + p / ω _{0}}$ avec $ω_{0} = 2 π f_{0}$ .

1) Le résultat. Pour un montage non inverseur de chaîne de retour $G = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}$ , établir la fonction de transfert harmonique en boucle fermée. En déduire son gain statique $A_{0}$ et sa pulsation de coupure $ω_{c}$ , puis montrer que $A_{0} f_{c} = μ_{0} f_{0}$ exactement. Le montage est-il stable ?

2) Un seul étage. Quelle est la bande passante d'un non inverseur de gain $1000$ ? Le cahier des charges est-il tenu ?

3) Deux étages. On met en cascade deux non inverseurs identiques de gain $1000$ . Pourquoi la fonction de transfert globale est-elle le produit des deux ? Calculer la fréquence de coupure de chaque étage, puis celle de l'ensemble. Et avec trois étages ?

4) Vérifications. Le gain exact de chaque étage diffère-t-il notablement de $1/ G$ ? La vitesse de balayage est-elle suffisante ?

5) Et un inverseur ? On propose deux inverseurs de gain $- 31, 6$ . Montrer que pour un inverseur de résistances $R_{1}$ (entrée) et $R_{2}$ (retour), la fréquence de coupure vérifie $(1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) f_{c} = μ_{0} f_{0}$ . Comparer au non inverseur, et donner une seconde raison de préférer ce dernier ici.

6) Bilan. Quelle est la constante de temps de chaque étage ? Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie. Le schéma bloc du non inverseur ( $ε = e - G s$ , $s = μ ε$ ) donne $H_{BF} = \frac{μ}{1 + μ G}$ ; on met le résultat sous la forme canonique d'un premier ordre et on lit $A_{0}$ et $ω_{c}$ . La cascade se traite comme un produit de premiers ordres.

1) Établir $A_{0} f_{c} = μ_{0} f_{0}$ . En régime sinusoïdal, $μ = \frac{μ _{0}}{1 + j ω / ω _{0}}$ et $H_{BF} = \frac{μ}{1 + μ G} = \frac{μ _{0}}{1 + j \frac{ω}{ω _{0}} + μ _{0} G} = \frac{\frac{μ _{0}}{1 + μ _{0} G}}{1 + j \frac{ω}{ω _{0} ( 1 + μ _{0} G )}} .$ C'est un passe-bas du premier ordre de gain statique et de pulsation de coupure $A_{0} = \frac{μ _{0}}{1 + μ _{0} G}, ω_{c} = ω_{0} (1 + μ_{0} G) .$ Leur produit vaut $A_{0} ω_{c} = μ_{0} ω_{0}$ : le facteur $1 + μ_{0} G$ s'élimine exactement, sans approximation. Donc $A_{0} f_{c} = μ_{0} f_{0} = 1, 6 MHz$ pour ces ALI. Le dénominateur $1 + \frac{p}{ω _{c}}$ a ses coefficients positifs : stable (pôle réel $- ω_{c}$ ). Comme $μ_{0} G ≫ 1$ en pratique, $A_{0} ≃ \frac{1}{G} = 1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}$ : gagner en gain, c'est perdre en bande dans la même proportion.

2) Un étage : raté. $f_{c} = \frac{1 , 6 \times 1 0 ^{6}}{1 000} = 1, 6 kHz$ (le gain exact vaut $995$ ) : les aigus de la voix et toute la musique au-delà de $1, 6 kHz$ sont atténués. Cahier des charges non tenu, d'un facteur $12$ .

3) La cascade. Chaque non inverseur a une impédance d'entrée infinie (l'étage 2 ne charge pas l'étage 1) et une impédance de sortie nulle (l'étage 1 impose sa tension quel que soit le courant) : la tension de sortie de l'étage 1 est exactement l'entrée de l'étage 2, et $H = H_{1} H_{2}$ . Chaque étage de gain $A_{i} = 1000 = 31, 6$ a une coupure $f_{i} = \frac{1 , 6 \times 1 0 ^{6}}{31 , 6} = 50, 6 kHz$ . L'ensemble a pour module $\frac{1 000}{1 + ( f / f _{i} ) ^{2}}$ ; il vaut $\frac{1 000}{2}$ quand $(1 + (f / f_{i})^{2})^{2} = 2$ , soit $f_{c} = f_{i} 2 - 1 = 0, 644 \times 50, 6 = 32, 6 kHz ⩾ 20 kHz .$ Cahier des charges tenu. Avec trois étages de gain $10$ : $f_{i} = 160 kHz$ et $f_{c} = f_{i} 2^{1/3} - 1 = 0, 510 \times 160 = 81, 6 kHz$ . Répartir le gain sur plusieurs étages gagne en bande, parce que la bande d'un étage est inversement proportionnelle à son gain.

4) Vérifications. Pour un étage, $G = \frac{1}{31 , 62}$ , $μ_{0} G = 6325$ : $A_{0} = \frac{2 \times 1 0 ^{5}}{6 326} = 31, 617$ , à $1, 6 \times 1 0^{- 4}$ près de $1/ G$ ; le gain global vaut $999, 7$ : parfait. Vitesse de balayage : seul le second étage délivre une grande amplitude, $2 V$ crête ; à $20 kHz$ , la pente maximale vaut $2 \times 2 π \times 2 \times 1 0^{4} = 0, 25 V μ s^{- 1}$ , inférieure à $0, 5$ : pas de triangulation.

5) L'inverseur est moins bon. Pour l'inverseur, $V_{+} = 0$ et, $i_{-}$ étant nul, le théorème de Millman en $N$ donne $V_{-} = \frac{R _{2} e + R _{1} s}{R _{1} + R _{2}}$ . Avec $s = - μ V_{-}$ : $s (1 + μ \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}) = - μ \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} e .$ En posant $G = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}$ , le dénominateur est le même qu'au non inverseur : la pulsation de coupure vaut encore $ω_{0} (1 + μ_{0} G) ≃ ω_{0} μ_{0} G$ , donc $\frac{f _{c}}{G} = (1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) f_{c} = μ_{0} f_{0}$ . Ce qui se conserve n'est pas « gain $\times$ bande » mais $(1 + \frac{R _{2}}{R _{1}}) \times$ bande. Pour un gain de $- 31, 6$ : $f_{c} = \frac{1 , 6 \times 1 0 ^{6}}{32 , 6} = 49, 1 kHz$ , un peu moins que $50, 6$ . Seconde raison : l'impédance d'entrée de l'inverseur vaut $R_{1}$ ; elle chargerait le microphone (qui a lui-même quelques centaines d'ohms de résistance interne), comme l'électrode de l'exercice 1.

6) Bilan. Chaque étage est un premier ordre de constante de temps $\frac{1}{2 π f _{i}} = 3, 1 μ s$ , alors que l'ALI seul a $τ_{0} = 20 ms$ : la boucle échange du gain ( $2 \times 1 0^{5} \to 31, 6$ ) contre de la rapidité, dans le même rapport.

Résultat établi : la conservation du produit gain-bande passante du montage non inverseur — pour un ALI modélisé par un premier ordre de gain statique $μ_{0}$ et de fréquence de coupure $f_{0}$ , le montage non inverseur de gain statique $A_{0}$ a une fréquence de coupure $f_{c}$ telle que $A_{0} f_{c} = μ_{0} f_{0}$ , exactement. Il impose de répartir un grand gain sur plusieurs étages.

Ce que le problème installe. Le schéma bloc du non inverseur donne en trois lignes un premier ordre dont le gain et la coupure sont liés par un invariant ; un cahier des charges (gain et bande) se teste contre cet invariant, et se résout par une cascade que seule autorise l'impédance d'entrée infinie du montage. Le bon montage se choisit sur trois critères : gain-bande, impédance d'entrée, vitesse de balayage.

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