électronique (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Sonde de Rogowski : un intégrateur qui ne dérive pas

Rétroaction et amplificateur linéaire intégré · A. Montages linéaires · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une sonde de Rogowski est une bobine souple refermée autour d'un conducteur parcouru par un courant $i (t)$ ; elle délivre la tension $e = M \frac{d i}{d t}$ , avec $M = 1, 0 μ H$ (donnée de l'énoncé). Pour obtenir une tension proportionnelle à $i$ , on l'intègre par un montage inverseur dont la branche d'entrée est une résistance $R = 1, 0 kΩ$ et la branche de retour un condensateur $C = 100 nF$ en parallèle avec une résistance $R^{'}$ .

1) Établir la fonction de transfert d'un montage inverseur dont les branches d'entrée et de retour ont les impédances $Z_{1}$ et $Z_{2}$ . L'appliquer au montage ci-dessus.

2) Montrer que pour $ω R^{'} C ≫ 1$ le montage est un intégrateur. Exprimer alors $s$ en fonction de $i$ et calculer la tension de sortie pour un courant sinusoïdal d'amplitude $100 A$ à $50 Hz$ . Quelle est l'amplitude de $e$ ?

3) Pourquoi ne peut-on pas supprimer $R^{'}$ ? (Raisonner sur le gain à fréquence nulle et sur une faible composante continue parasite présente à l'entrée.)

4) Un intégrateur idéal déphase de $+ 9 0^{\circ}$ (au signe près du montage). On exige une erreur de phase d'au plus $1^{\circ}$ à $50 Hz$ . Quelle est la valeur minimale de $R^{'}$ ? Avec $R^{'} = 2, 2 MΩ$ , que valent l'erreur de phase, l'erreur de gain, la fréquence de coupure et le gain statique ?

Corrigé

La stratégie. Masse virtuelle et loi des nœuds en complexes : $\frac{e}{Z _{1}} + \frac{s}{Z _{2}} = 0$ ; puis lecture asymptotique de la fonction de transfert.

1) L'inverseur généralisé. L'entrée $+$ est à la masse et la rétroaction arrive sur l'entrée $-$ : régime linéaire, $V_{-} = 0$ . Le courant $\frac{e}{Z _{1}}$ qui traverse la branche d'entrée traverse aussi la branche de retour ( $i_{-} = 0$ ), où il vaut $\frac{0 - s}{Z _{2}}$ : $H = \frac{s}{e} = - \frac{Z _{2}}{Z _{1}} .$ Ici $Z_{1} = R$ et $Z_{2} = \frac{R ^{'}}{1 + j R ^{'} C ω}$ ( $R^{'}$ et $C$ en parallèle), donc $H = - \frac{R ^{'} / R}{1 + j R ^{'} C ω} .$ C'est un passe-bas du premier ordre, de gain statique $- R^{'} / R$ et de pulsation de coupure $\frac{1}{R ^{'} C}$ .

2) Le régime intégrateur. Pour $ω R^{'} C ≫ 1$ , $H ≃ - \frac{1}{j R C ω}$ : diviser par $j ω$ , c'est intégrer. En temporel, $s = - \frac{1}{R C} \int e d t = - \frac{M}{R C} i$ (à une constante près, nulle en régime sinusoïdal). Avec $R C = 1 0^{3} \times 1 0^{- 7} = 0, 10 ms$ : $\frac{M}{R C} = \frac{1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 4}} = 0, 010 V A^{- 1}$ ; pour $100 A$ , la sortie a une amplitude de $1, 0 V$ . La tension de la sonde, elle, vaut $M ω I = 1 0^{- 6} \times 314 \times 100 = 31 mV$ : l'intégrateur la multiplie par $\frac{1}{R C ω} = 32$ à $50 Hz$ , et compense la dérivation faite par la sonde.

3) Pourquoi $R^{'}$ . Sans $R^{'}$ , $H = - \frac{1}{j R C ω}$ a un module infini à fréquence nulle. Une composante continue $E_{0}$ , même de $1 mV$ , est intégrée : $s = - \frac{E _{0}}{R C} t$ , une rampe de $- 10 V s^{- 1}$ qui sature l'ALI en $1, 3 s$ . Le régime linéaire est perdu. $R^{'}$ limite le gain statique à $R^{'} / R$ : la composante continue ne produit plus qu'un décalage fixe $- \frac{R ^{'}}{R} E_{0}$ .

4) Choix de $R^{'}$ . Posons $x = ω R^{'} C$ . $H = - \frac{R ^{'} / R}{1 + j x}$ a pour argument $18 0^{\circ} - arctan x$ , alors que l'intégrateur idéal, $\frac{j}{R C ω}$ , a pour argument $9 0^{\circ}$ . L'erreur de phase vaut $9 0^{\circ} - arctan x = arctan \frac{1}{x}$ . Elle est inférieure à $1^{\circ}$ si $\frac{1}{x} ⩽ tan 1^{\circ} = 0, 0175$ , soit $x ⩾ 57, 3$ : $R^{'} ⩾ \frac{57 , 3}{ω C} = \frac{57 , 3}{314 \times 1 0 ^{- 7}} = 1, 82 MΩ .$ Avec $R^{'} = 2, 2 MΩ$ : $x = 69, 1$ , erreur de phase $arctan (1/69, 1) = 0, 8 3^{\circ}$ ; erreur de gain $1 - \frac{x}{1 + x ^{2}} = 1 \times 1 0^{- 4}$ , négligeable ; coupure $\frac{1}{2 π R ^{'} C} = 0, 72 Hz$ , bien en dessous de $50 Hz$ ; gain statique $R^{'} / R = 2200$ : $1 mV$ continu donne $2, 2 V$ de décalage, ce qu'un condensateur de liaison en sortie élimine si nécessaire.

Ce que l'exercice installe. L'inverseur généralisé $- Z_{2} / Z_{1}$ fabrique un filtre en choisissant deux impédances. Un intégrateur réel est un passe-bas dont on n'utilise que l'asymptote : la résistance $R^{'}$ fixe le gain statique et la frontière en dessous de laquelle il cesse d'intégrer. Le cahier des charges (erreur de phase à $50 Hz$ ) se traduit en une borne sur $R^{'} C$ .

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