Deux cordes de guitare à $2Hz$ l'une de l'autre : durée, fréquence et nombre de points d'une acquisition

La stratégie. Trois paramètres liés par $f_e=\frac{N}{T_{\text{acq}}}$ : la résolution est fixée par la durée, la fréquence de Nyquist par la cadence, et le nombre de points relie les deux.

1) Le tableau. $T_{\text{acq}}=10\times$ base, $f_e=\frac{2500}{T_{\text{acq}}}$, $\Delta f=\frac{1}{T_{\text{acq}}}$ :

base de temps	$T_{\text{acq}}$	$\Delta f$	$f_e$	écran
$20\mathrm{ms}$	$0,2\mathrm{s}$	$5\mathrm{Hz}$	$12,5\mathrm{kHz}$	une seule raie élargie
$50\mathrm{ms}$	$0,5\mathrm{s}$	$2\mathrm{Hz}$	$5\mathrm{kHz}$	deux raies tout juste distinctes
$100\mathrm{ms}$	$1\mathrm{s}$	$1\mathrm{Hz}$	$2,5\mathrm{kHz}$	deux raies séparées
$200\mathrm{ms}$	$2\mathrm{s}$	$0,5\mathrm{Hz}$	$1,25\mathrm{kHz}$	deux raies bien séparées

Pour séparer deux raies distantes de $\delta f=2\mathrm{Hz}$, il faut $\Delta f\lesssim \delta f$, soit $T_{\text{acq}}\gtrsim \frac{1}{\delta f}=0,5\mathrm{s}$ : la durée d'une période de battement ; $\frac{2}{\delta f}$ pour une séparation nette. C'est la relation $\Delta f\cdot \Delta t\sim 1$ : on ne peut distinguer deux fréquences qu'en observant le temps qu'il faut à leur déphasage pour tourner d'un tour.

2) Le repliement. À $1\mathrm{s}$ par division, $T_{\text{acq}}=10\mathrm{s}$, $\Delta f=0,1\mathrm{Hz}$, mais $f_e=250\mathrm{Hz}$ et $f_e/2=125\mathrm{Hz}$ : les deux notes sont au-dessus de la fréquence de Nyquist. L'écran montre deux raies à $|196-250|=54\mathrm{Hz}$ et $|198-250|=52\mathrm{Hz}$ : des fréquences qui n'existent pas, et dans l'ordre inverse (la plus aiguë paraît la plus grave). Le résultat est faux sans aucun message d'avertissement.

3) La règle. Choisir d'abord la durée d'après la résolution voulue ($T_{\text{acq}}⩾\frac{1}{\Delta f}$), puis la fréquence d'échantillonnage d'après la plus haute fréquence présente ($f_e>2f_{\max }$), et en déduire le nombre de points nécessaire, $N=f_e{T}_{\text{acq}}⩾\frac{2f_{\max }}{\Delta f}$. À $N$ fixé, $f_e/2=\frac{N}{2T_{\text{acq}}}$ : affiner le spectre abaisse la fréquence de Nyquist.

4) Ordre de grandeur. $N⩾\frac{2\times 5000}{0,5}=20000$ points : hors de portée de l'oscilloscope. On utilise une carte d'acquisition (des centaines de milliers de points), ou l'on filtre le signal en passe-bas pour pouvoir abaisser $f_e$ sans repliement. Cas limite $\delta f\to 0$ (cordes accordées) : $T_{\text{acq}}\to \infty$ ; l'accordeur ne cherche pas deux raies, il écoute les battements ralentir, dans le temps.

Ce que l'exercice installe. Une acquisition se dimensionne par sa durée (résolution) et sa cadence (Nyquist) ; le nombre de points en découle. À nombre de points fixé, finesse spectrale et étendue spectrale s'opposent, et un réglage maladroit replie le spectre sans prévenir.