électronique (PSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

L'écran FFT d'un oscilloscope numérique : quelles raies sont vraies ?

Électronique numérique : échantillonnage et filtrage · B. Échantillonnage et repliement · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On observe un signal créneau de fréquence $f_{0} = 1, 3 kHz$ , issu d'un générateur, sur un oscilloscope numérique en mode FFT ( $2500$ points) réglé sur $20 ms$ par division. Un créneau symétrique ne contient que des harmoniques de rangs impairs, d'amplitudes $\frac{1}{n}$ fois celle du fondamental. L'écran affiche, de $0$ à $6, 25 kHz$ , les raies suivantes (niveaux en décibels par rapport à la plus haute) :

$0, 3$ ( $- 25, 6$ ) ; $0, 8$ ( $- 19, 1$ ) ; $1, 3$ ( $0$ ) ; $1, 8$ ( $- 20, 8$ ) ; $2, 3$ ( $- 26, 4$ ) ; $2, 9$ ( $- 24, 6$ ) ; $3, 4$ ( $- 16, 9$ ) ; $3, 9$ ( $- 9, 5$ ) ; $4, 4$ ( $- 22, 3$ ) ; $5, 5$ ( $- 23, 5$ ) ; $6, 0$ ( $- 14, 0$ ) (fréquences en kilohertz, niveaux en décibels).

1) Quelle est la fréquence d'échantillonnage ? Quelles raies sont « vraies » ? Quel argument immédiat prouve que l'écran contient des artefacts ?

2) Identifier l'harmonique d'origine de chaque raie fausse, et vérifier que son niveau est compatible.

3) Comment le vérifier expérimentalement, sans calcul ?

4) Pourquoi l'oscilloscope n'a-t-il pas de filtre anti-repliement ? Quelle base de temps choisir pour que toute raie repliée soit inférieure à $1 %$ du fondamental ?

5) Cas limite : le même créneau, à $f_{0} = 1, 5625 kHz = f_{e} /8$ . Que montre l'écran ? Pourquoi est-ce le cas le plus trompeur ?

Corrigé

La stratégie. Un signal périodique de fréquence $f_{0}$ n'a de raies qu'aux multiples de $f_{0}$ : toute autre raie est un alias. On le retrouve en « repliant » chaque harmonique dans $[0, f_{e} /2]$ par $f_{a} = ∣ n f_{0} - k f_{e} ∣$ .

1) Vraies et fausses. $f_{e} = \frac{2 500}{0 , 2 s} = 12, 5 kHz$ . Les vraies raies sont aux multiples impairs de $1, 3 kHz$ inférieurs à $6, 25 kHz$ ; le rang $5$ , à $6, 5 kHz$ , est déjà au-delà. Donc seules $1, 3$ ( $0 dB$ ) et $3, 9 kHz$ ( $- 9, 5 dB = 20 lo g \frac{1}{3}$ ) sont vraies. Preuve immédiate d'artefact : des raies à $0, 3$ et $0, 8 kHz$ , en dessous du fondamental, impossibles pour un signal de période $1/ f_{0}$ .

2) Les alias. $n = 5$ : $6, 5 \to 12, 5 - 6, 5 = 6, 0$ ( $- 14, 0 dB = 20 lo g \frac{1}{5}$ ✓) ; $n = 7$ : $9, 1 \to 3, 4$ ( $- 16, 9$ ✓) ; $n = 9$ : $11, 7 \to 0, 8$ ( $- 19, 1$ ✓) ; $n = 11$ : $14, 3 \to 1, 8$ ( $- 20, 8$ ✓) ; $n = 13$ : $16, 9 \to 4, 4$ ( $- 22, 3$ ✓) ; $n = 15$ : $19, 5 \to 25 - 19, 5 = 5, 5$ ( $- 23, 5$ ✓) ; $n = 17$ : $22, 1 \to 2, 9$ ( $- 24, 6$ ✓) ; $n = 19$ : $24, 7 \to 0, 3$ ( $- 25, 6$ ✓) ; $n = 21$ : $27, 3 \to 2, 3$ ( $- 26, 4$ ✓). Toutes les raies s'expliquent, et leurs niveaux suivent la loi en $1/ n$ de leur rang d'origine.

3) Le test sans calcul. Changer la base de temps (par exemple $10 ms$ par division, $f_{e} = 25 kHz$ ) : les vraies raies restent en place, les alias se déplacent. C'est le réflexe de tout expérimentateur devant un écran FFT.

4) Pas de filtre anti-repliement. La fréquence d'échantillonnage de l'oscilloscope suit la base de temps choisie par l'utilisateur : aucun filtre fixe ne pourrait convenir à toutes. C'est à l'utilisateur de choisir $f_{e}$ assez grande. Pour que tout alias soit sous $1 %$ du fondamental, il faut que seuls les rangs $n > 100$ se replient : $\frac{f _{e}}{2} > 100 \times 1, 3 kHz = 130 kHz$ . À $1 ms$ par division ( $f_{e} = 250 kHz$ , $f_{e} /2 = 125 kHz$ ), le rang $97$ se replie déjà, à $1, 03 %$ : juste insuffisant ; à $0, 5 ms$ par division ( $f_{e} = 500 kHz$ ), seuls les rangs au-delà de $192$ se replient, sous $0, 52 %$ : convient. Mais la résolution devient $\frac{1}{5 ms} = 200 Hz$ : on retrouve le compromis de l'exercice 2.

5) Le cas le plus trompeur. Avec $f_{0} = f_{e} /8$ , chaque harmonique se replie exactement sur un autre harmonique : $5 f_{0} = f_{e} - 3 f_{0}$ tombe sur $3 f_{0}$ , $7 f_{0} = f_{e} - f_{0}$ et $9 f_{0} = f_{e} + f_{0}$ tombent sur $f_{0}$ , et ainsi de suite. L'écran ne montre que deux raies, à $1, 5625$ et $4, 6875 kHz$ : un spectre qui paraît propre. Mais leurs niveaux sont faux : le rapport du rang $3$ au fondamental n'est plus $\frac{1}{3}$ (il vaut par exemple $0, 41$ , selon la phase de l'échantillonnage), car il contient la somme des contributions repliées. Rien ne trahit l'erreur, sauf le test de la question 3.

Ce que l'exercice installe. Lire un écran FFT avec méfiance : un signal périodique n'a de raies qu'aux multiples de sa fréquence ; une raie sous le fondamental est un alias ; chaque alias se rattache à son rang d'origine par $∣ n f_{0} - k f_{e} ∣$ et garde son niveau. Le test expérimental : changer $f_{e}$ et voir ce qui bouge.

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