électronique (PSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

La jauge de carburant d'une voiture : écrire, régler et limiter un passe-bas numérique

Électronique numérique : échantillonnage et filtrage · C. Conversion numérique-analogique et filtrage numérique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans les virages et au freinage, le carburant ballotte dans le réservoir : le flotteur de la jauge oscille autour du vrai niveau, à environ $2 Hz$ . Le calculateur échantillonne la tension du capteur à $f_{e} = 100 Hz$ et doit afficher un niveau stable. Il ne dispose que d'opérations sur des entiers et ne conserve qu'une seule valeur en mémoire entre deux échantillons.

1) Montrer que l'algorithme y = y + (x - y) / 8, exécuté à chaque nouvel échantillon x, est un filtre récursif $y_{n} = a y_{n - 1} + (1 - a) x_{n}$ . Donner $a$ . Pourquoi diviser par $8$ est-il commode sur des entiers ?

2) Par analogie avec un passe-bas $R C$ discrétisé, $a = \frac{τ}{τ + T _{e}}$ . Calculer $τ$ et la fréquence de coupure. Exprimer la réponse à un échelon (le plein) et le nombre d'échantillons pour atteindre $95 %$ .

3) Le gain exact du filtre numérique à la fréquence $f$ est $\frac{1 - a}{1 - a e ^{- 2 j π f T_{e}}}$ . Calculer le résidu du ballottement à $2 Hz$ . Comparer au $R C$ . Quel $a$ divise le ballottement par $10$ ? Quel en est le prix ?

4) Un collègue veut une coupure de $20 Hz$ par la même formule. Calculer $a$ , puis le gain à $f_{e} /2$ . La coupure réelle est à $13, 7 Hz$ : expliquer l'écart.

5) Autre filtre : la moyenne des $50$ derniers échantillons. Que devient l'oscillation à $2 Hz$ ? Que coûte ce filtre ?

Corrigé

La stratégie. Réécrire l'algorithme sous forme de récurrence, puis lui associer la constante de temps du $R C$ équivalent ; évaluer exactement son gain et en connaître la limite : l'analogie exige $f_{c} ≪ f_{e}$ .

1) L'algorithme. $y_{n} = y_{n - 1} + \frac{x _{n} - y _{n - 1}}{8} = \frac{7}{8} y_{n - 1} + \frac{1}{8} x_{n}$ : $a = \frac{7}{8} = 0, 875$ , $1 - a = \frac{1}{8}$ . Une seule variable, $y$ , est conservée. Diviser un entier par $8 = 2^{3}$ revient à décaler ses bits de trois rangs : l'opération la plus rapide d'un petit processeur.

2) Constante de temps et réponse. $τ = \frac{a T _{e}}{1 - a} = 7 T_{e} = 70 ms$ , $f_{c} = \frac{1}{2 π τ} = 2, 27 Hz$ . Pour un échelon $x_{n} = 1$ ( $y_{- 1} = 0$ ) : $y_{n} = 1 - a^{n + 1}$ (récurrence affine, point fixe $1$ ). $95 %$ atteints quand $a^{n + 1} ⩽ 0, 05$ , soit $n + 1 ⩾ \frac{ln 0 , 05}{ln 0 , 875} = 22, 4$ : $23$ échantillons, $0, 23 s$ , proche de $3 τ = 0, 21 s$ .

3) Le ballottement. À $2 Hz$ : $\frac{1/8}{1 - \frac{7}{8} e ^{- j 0, 1257}} = 0, 73$ (le $R C$ prévoit $\frac{1}{1 + ( 2/2 , 27 ) ^{2}} = 0, 75$ ) : le ballottement n'est presque pas atténué, l'aiguille danse. Pour un résidu de $10 %$ , il faut $a = 0, 9875$ ( $f_{c} = 0, 20 Hz$ ), et le temps de réponse monte à $\frac{ln 0 , 05}{ln a} T_{e} = 2, 4 s$ . C'est le compromis rejet contre rapidité d'un premier ordre ; pour une jauge de carburant, deux secondes et demie sont acceptables.

4) La limite due à l'échantillonnage. $a = \frac{1}{1 + 2 π \times 20 \times 0 , 01} = 0, 443$ . Au voisinage de $f_{e} /2 = 50 Hz$ , $e^{- 2 j π f T_{e}} \to - 1$ et le gain tend vers $\frac{1 - a}{1 + a} = 0, 39$ : il ne tend pas vers zéro comme celui d'un $R C$ ; la coupure réelle est à $13, 7 Hz$ au lieu de $20$ . La discrétisation de la dérivée par $\frac{y _{n} - y _{n - 1}}{T _{e}}$ n'est fidèle que si le signal varie peu sur une période d'échantillonnage : l'analogie exige $f_{c} ≪ f_{e}$ . Ici $20 Hz$ n'est qu'à un facteur $5$ de $f_{e}$ .

5) La moyenne glissante. $50$ échantillons durent $0, 50 s$ , une période exacte du ballottement : la moyenne d'une sinusoïde sur une période entière est nulle. L'oscillation à $2 Hz$ et tous ses harmoniques disparaissent exactement, et la réponse à un échelon est complète en $0, 5 s$ , cinq fois plus vite que le filtre récursif équivalent. Le prix : $50$ valeurs en mémoire au lieu d'une, et un rejet exact pour une seule fréquence (et ses multiples). C'est le principe des multimètres qui intègrent sur un nombre entier de périodes du secteur.

Ce que l'exercice installe. Un passe-bas numérique est une ligne de code : $y \leftarrow y + (x - y) / 2^{m}$ . On le règle par l'analogie $R C$ , on chiffre le compromis rejet-rapidité, et l'on connaît sa limite : près de $f_{e} /2$ , le filtre numérique ne se comporte plus comme le $R C$ ; c'est la limitation introduite par l'échantillonnage.

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