Problème : l'électrocardiographe numérique, ou pourquoi échantillonner au-delà de deux fois la fréquence maximale, et avec quel filtre

La stratégie. Mettre en place la condition par l'indiscernabilité des échantillons (une identité trigonométrique), puis la traduire en gabarit de filtre et en ordre par les pentes du diagramme de Bode.

1) Mêmes échantillons. Avec $f_e{T}_e=1$ : $2\pi (f_e-f)n{T}_e-\phi =2\pi n-(2\pi fn{T}_e+\phi )$, dont le cosinus vaut $\cos (2\pi fn{T}_e+\phi )$ (parité et périodicité $2\pi$) ; de même, $2\pi (f+k{f}_e)n{T}_e=2\pi fn{T}_e+2\pi kn$. Les échantillons ne distinguent pas $f$, $f_e-f$, $f+k{f}_e$ ; seule la bande $[0,f_e/2]$ est sans ambiguïté. À $f_e=500\mathrm{Hz}$ : $300\mathrm{Hz}\to 200\mathrm{Hz}$ ; $400\mathrm{Hz}\to 100\mathrm{Hz}$ ; $450\mathrm{Hz}\to 50\mathrm{Hz}$. Les trois tombent dans la bande utile, et l'harmonique $9$ du secteur se replie exactement sur le $50\mathrm{Hz}$. Après l'échantillonnage, une composante à $100\mathrm{Hz}$ venue du cœur et une venue d'un muscle à $400\mathrm{Hz}$ sont identiques : aucun traitement ne les sépare. Le filtre doit être analogique, placé avant le CAN.

2) La condition de Nyquist-Shannon. Deux fréquences utiles $f$ et $f^{\prime }$ de $[0,f_{\max }]$ sont confondues si $f^{\prime }=f_e-f$ (ou $f^{\prime }=f+k{f}_e$). Les images $f_e-f$ des fréquences utiles occupent $[f_e-f_{\max },f_e]$ ; elles ne rencontrent jamais la bande utile si $f_e-f_{\max }>f_{\max }$ : $$f_e>2f_{\max }=300\mathrm{Hz}.$$ Le cours admet que, sous cette condition, le signal se reconstruit exactement ; on a établi ici sa nécessité. Cas limite $f_e=2f_{\max }$ : une sinusoïde à $f_{\max }$ échantillonnée à ses passages par zéro donne des échantillons tous nuls, son amplitude est perdue : l'inégalité est stricte.

3) Le gabarit. Un parasite à une fréquence $f$ comprise entre $f_e/2=250\mathrm{Hz}$ et $f_e-f_{\max }=350\mathrm{Hz}$ se replie entre $150$ et $250\mathrm{Hz}$, hors de la bande utile : il est sans conséquence (un filtre numérique l'éliminera ensuite). Le filtre doit donc laisser passer jusqu'à $150\mathrm{Hz}$ et atténuer à partir de $350\mathrm{Hz}$ : une bande de transition de $200\mathrm{Hz}$, et non $100$. Cas limite $f_e\to 2f_{\max }$ : transition nulle, filtre idéal irréalisable.

4) L'atténuation et l'ordre. Un parasite replié doit rester sous un pas : $2^{12}=4096$, soit $20\log 4096=72,2\mathrm{dB}$. Entre $150$ et $350\mathrm{Hz}$, il y a $\log \frac{350}{150}=0,368$ décade ; un filtre d'ordre $n$ y gagne au plus $20n\times 0,368=7,36n$ décibels : $$n⩾\frac{72,2}{7,36}=9,8⟹\text{ordre }10\text{aˋ}500\mathrm{Hz}.$$ À $f_e=1\mathrm{kHz}$, l'atténuation commence à $850\mathrm{Hz}$ : $n⩾\frac{72,2}{20\log (850/150)}=4,8$, ordre $5$. Doubler $f_e$ divise l'ordre par deux : c'est pourquoi les électrocardiographes échantillonnent à $500\mathrm{Hz}$ ou $1\mathrm{kHz}$ alors que $300\mathrm{Hz}$ suffiraient en théorie. (Hypothèse sévère : un parasite pleine échelle ; en pratique, l'activité musculaire est plus faible et l'on gagne un peu.)

5) Le suréchantillonnage. À $4\mathrm{kHz}$, le filtre analogique n'a à atténuer qu'à partir de $3850\mathrm{Hz}$ : $n⩾\frac{72,2}{20\log (3850/150)}=2,6$, un ordre 3, simple et stable. Le filtrage raide (couper entre $150$ et $350\mathrm{Hz}$) est confié à un filtre numérique, sans dérive de composants, après quoi on ne garde qu'un échantillon sur huit pour revenir à $500\mathrm{Hz}$ (qualitativement : ce filtre numérique doit lui-même respecter le gabarit de la question 3 avant cette réduction).

6) Ordres de grandeur et résultat. $3\times 12\mathrm{bits}\times 500{\mathrm{s}}^{-1}\times 86400\mathrm{s}=1,56\times 10^9\mathrm{bits}$, soit $194\mathrm{Mo}$ : une carte mémoire ordinaire. Doubler $f_e$ doublerait ce volume : le choix de $f_e$ est un compromis entre le filtre et la mémoire.

Résultat établi : la condition de Nyquist-Shannon — un signal de fréquence maximale $f_{\max }$ ne peut être échantillonné sans confusion de fréquences que si $f_e>2f_{\max }$ ; toute composante au-delà de $f_e/2$ se replie, et le filtre anti-repliement, analogique et placé avant le CAN, doit atténuer à partir de $f_e-f_{\max }$, d'autant plus raide que $f_e$ est proche de $2f_{\max }$.

Ce que le problème installe. La condition de Nyquist-Shannon se met en place par une illustration : deux sinusoïdes qui passent par les mêmes points. Elle se prolonge en gabarit (transition de $f_{\max }$ à $f_e-f_{\max }$) et en ordre de filtre (une affaire de décades et de décibels) ; le suréchantillonnage déplace la difficulté de l'analogique vers le numérique.