électronique (PSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Une sinusoïde fabriquée par un microcontrôleur : table d'onde, CNA, filtre de reconstruction

Électronique numérique : échantillonnage et filtrage · C. Conversion numérique-analogique et filtrage numérique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un microcontrôleur produit une sinusoïde de $1, 0 kHz$ pour un signal de test. Il lit en boucle une table de $N = 10$ valeurs (codes $128$ , $203$ , $249$ , $249$ , $203$ , $128$ , $53$ , $7$ , $7$ , $53$ ) et les envoie à un convertisseur numérique-analogique (CNA) de $8$ bits sur $0$ – $3, 3 V$ , à la fréquence $f_{e} = 10 kHz$ ; chaque valeur est maintenue jusqu'à la suivante (bloqueur). On exige que toute raie parasite soit inférieure à $1 %$ du fondamental.

1) Vérifier les codes de la table. Quel est le pas du CNA ?

2) Le spectre de l'escalier (mesuré) contient des raies à $1$ , $9$ , $11$ , $19$ , $21 kHz$ …, d'amplitudes relatives $1$ , $\frac{1}{9}$ , $\frac{1}{11}$ , $\frac{1}{19}$ , $\frac{1}{21}$ … Interpréter leurs positions.

3) On lisse par un passe-bas $R C$ de coupure $1 kHz$ . Niveau relatif de la raie à $9 kHz$ ? L'exigence est-elle tenue ? Montrer qu'aucun passe-bas du premier ordre ne peut la tenir.

4) On utilise un passe-bas du deuxième ordre (gain $\frac{1}{1 + ( f / f _{c} ) ^{4}}$ ). Quelle coupure choisir ? Que devient le fondamental ?

5) Autre solution : une table de $40$ valeurs lue à $40 kHz$ . Où est la première image, avec quel niveau ? Un simple $R C$ de coupure $3 kHz$ suffit-il ?

6) Le bloqueur retarde l'escalier, en moyenne, d'une demi-période d'échantillonnage. Quel déphasage en résulte, pour $10$ et pour $40$ points ? Que se passe-t-il pour une table de $2$ points ?

Corrigé

La stratégie. Le spectre d'un signal échantillonné-bloqué contient la bande utile et ses images autour des multiples de $f_{e}$ ; le filtre de reconstruction doit garder $f_{0}$ et rejeter la première image, $f_{e} - f_{0}$ .

1) La table. Code $= 128 + 127 sin \frac{2 π k}{10}$ : $128$ , $128 + 127 \times 0, 588 = 203$ , $128 + 127 \times 0, 951 = 249$ , puis symétriques : la table est juste. Pas : $q = \frac{3 , 3}{256} = 12, 9 mV$ . Fréquence : $\frac{f _{e}}{N} = 1, 0 kHz$ .

2) Les images. Les raies sont aux fréquences $k f_{e} \pm f_{0}$ : $10 \pm 1$ , $20 \pm 1 kHz$ : c'est la structure du spectre d'un signal échantillonné (bande utile reproduite autour de chaque multiple de $f_{e}$ ). Les amplitudes, données, décroissent : le bloqueur atténue les hautes fréquences.

3) Le $R C$ ne suffit pas. Le $R C$ atténue d'un facteur $\frac{1}{1 + ( f / f _{c} ) ^{2}}$ . Raie à $9 kHz$ par rapport au fondamental : $\frac{1}{9} \times \frac{1/ 82}{1/ 2} = 1, 74 %$ : non tenue. En baissant $f_{c}$ , le rapport $\frac{1 + ( f _{0} / f _{c} ) ^{2}}{1 + ( 9 f _{0} / f _{c} ) ^{2}}$ tend vers $\frac{1}{9}$ , d'où un niveau relatif qui tend vers $\frac{1}{81} = 1, 23 %$ , toujours au-dessus de $1 %$ , et au prix d'un fondamental écrasé. Un premier ordre est trop peu sélectif : l'image n'est qu'à $9$ fois la fréquence utile.

4) Le deuxième ordre. Avec $f_{c} = 2 kHz$ : image à $\frac{1}{9} \times \frac{1/ 1 + 4 , 5 ^{4}}{1/ 1 + 0 , 5 ^{4}} = 0, 56 %$ tenue, et le fondamental n'est atténué que d'un facteur $0, 97$ . (À $f_{c} = 1, 5 kHz$ , l'image tombe à $0, 34 %$ mais le fondamental à $0, 91$ .)

5) Suréchantillonner la table. $N = 40$ à $40 kHz$ : première image à $39 kHz$ , de niveau brut $\frac{1}{39} = 2, 6 %$ ; un $R C$ à $3 kHz$ la ramène à $\frac{1}{39} \times \frac{1/ 1 + 1 3 ^{2}}{1/ 1 + ( 1/3 ) ^{2}} = 0, 21 %$ , avec un fondamental à $0, 95$ : tenue avec un simple $R C$ . Écarter les images du signal utile relâche le filtre.

6) Retard du bloqueur. Un retard de $\frac{T _{e}}{2}$ à la fréquence $f_{0} = \frac{f _{e}}{N}$ donne un déphasage $- 2 π f_{0} \frac{T _{e}}{2} = - \frac{π}{N}$ : $- 1 8^{\circ}$ pour $10$ points, $- 4, 5^{\circ}$ pour $40$ . Cas limite $N = 2$ : la table $sin 0$ , $sin π$ ne contient que deux zéros ; rien ne sort. Il faut plus de deux points par période : encore Nyquist.

Ce que l'exercice installe. Un CNA à bloqueur produit des images en $k f_{e} \pm f_{0}$ ; le filtre de reconstruction se dimensionne contre la première, $f_{e} - f_{0}$ . Quand elle est trop proche, on augmente l'ordre du filtre ou l'on écarte l'image en suréchantillonnant.

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