électronique (PSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Démoduler : pourquoi un filtre ne suffit pas, comment le multiplieur y parvient

Modulation et démodulation d'amplitude · B. Démodulation synchrone · niveau 2

Énoncé

Un récepteur reçoit $s (t) = [A + m (t)] cos (ω_{p} t)$ avec $f_{p} = 100 kHz$ ; la modulante a un spectre borné à $f_{m a x} = 5, 0 kHz$ .

1) Un étudiant propose de récupérer $m (t)$ par un simple passe-bas de coupure $5 kHz$ . Que donne-t-il ? Énoncer la propriété des systèmes linéaires qui condamne toute solution linéaire.

2) On multiplie $s$ par une porteuse locale $cos (ω_{p} t)$ (multiplieur de constante $k$ ). Calculer le produit $v (t)$ et décrire son spectre. Pour $m (t) = a cos (ω t)$ , $f = 2, 0 kHz$ , lister toutes les fréquences présentes.

3) Quelle condition doit vérifier la coupure $f_{c}$ du passe-bas qui suit ? Comment récupère-t-on ensuite $m (t)$ seule ?

4) On choisit $f_{c} = 15 kHz$ . Avec un passe-bas du premier ordre, à quel niveau subsiste la composante à $2 f_{p}$ (par rapport au signal utile) ? Avec un passe-bas du deuxième ordre de gain $\frac{1}{1 + ( f / f _{c} ) ^{4}}$ ? Lequel tient l'exigence « résidu à $2 f_{p}$ inférieur à $1 %$ » ? Que deviennent les aigus à $5 kHz$ ?

Corrigé

La stratégie. Comparer des spectres : où est l'information, où faut-il l'amener, et quelle opération crée des fréquences.

1) Le filtre seul ne restitue rien. Le signal reçu occupe $[95; 105] kHz$ ; il n'a aucune composante au-dessous de $5 kHz$ . Un passe-bas de coupure $5 kHz$ coupe tout : sa sortie est quasi nulle. Un système linéaire, en régime sinusoïdal, répond à chaque fréquence par la même fréquence, avec un gain et un déphasage : il ne crée ni ne déplace aucune fréquence. Ramener le spectre autour de zéro exige une opération non linéaire : une multiplication, par exemple.

2) Le produit. $v = k [A + m (t)] cos^{2} ω_{p} t = \frac{k}{2} [A + m (t)] + \frac{k}{2} [A + m (t)] cos (2 ω_{p} t)$ . Le premier terme est en bande de base (continu plus modulante), le second est une AM autour de $2 f_{p} = 200 kHz$ . Pour $m = a cos ω t$ : $0$ et $2, 0 kHz$ en basse fréquence ; $198$ , $200$ et $202 kHz$ en haute fréquence. Le multiplieur a bien créé la fréquence $f$ , absente du signal reçu.

3) Le passe-bas et le condensateur de liaison. Le passe-bas doit transmettre toute la modulante et rejeter le paquet autour de $2 f_{p}$ : $f_{m a x} ≪ f_{c} ≪ 2 f_{p}$ , réalisable parce que $f_{p} ≫ f_{m a x}$ . Il reste $\frac{k}{2} [A + m (t)]$ ; un condensateur de liaison (passe-haut de très basse coupure) supprime le continu $\frac{k A}{2}$ et laisse $\frac{k}{2} m (t)$ .

4) L'ordre du filtre. Les deux termes ont la même amplitude $\frac{k}{2} (A + m)$ : le résidu relatif est le gain du filtre à $200 kHz$ . Premier ordre : $\frac{1}{1 + ( 200/15 ) ^{2}} = 7, 5 %$ : non tenu, la sortie porte une ondulation visible à $200 kHz$ . Deuxième ordre : $\frac{1}{1 + ( 200/15 ) ^{4}} = 0, 56 %$ : tenu. À $5 kHz$ , le premier ordre transmet $0, 95$ (les aigus perdent $5 %$ ), le deuxième ordre $0, 994$ : il est meilleur des deux côtés. Ordre de grandeur : un rapport $13$ entre $2 f_{p}$ et $f_{c}$ ne vaut que $22 dB$ au premier ordre, $45 dB$ au deuxième.

Ce que l'exercice installe. La nécessité d'une opération non linéaire se justifie en une phrase de spectre : aucune raie à $f$ dans le signal reçu, et un système linéaire ne crée pas de fréquence. Le multiplieur ramène l'information en bande de base et en crée une copie à $2 f_{p}$ , qu'un passe-bas de coupure $f_{m a x} ≪ f_{c} ≪ 2 f_{p}$ élimine, avec un ordre qui se dimensionne.

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