électronique (PSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Fabriquer un signal AM au multiplieur et le lire à l'oscilloscope

Modulation et démodulation d'amplitude · A. Modulation d'amplitude et spectre · niveau 2

Énoncé

En TP, on applique sur l'entrée 1 d'un multiplieur ( $k = 0, 10 V^{- 1}$ ) la tension $v_{1} = E_{0} + U_{m} cos (ω t)$ , somme d'une tension continue $E_{0} = 4, 0 V$ et d'une modulante d'amplitude $U_{m} = 2, 0 V$ à $f = 1, 0 kHz$ ; sur l'entrée 2, la porteuse $v_{2} = V_{p} cos (ω_{p} t)$ , $V_{p} = 5, 0 V$ , $f_{p} = 100 kHz$ .

1) Écrire $s (t)$ sous la forme $[A + a cos (ω t)] cos (ω_{p} t)$ ; donner $A$ , $a$ et le taux de modulation $μ$ . Entre quelles valeurs l'enveloppe oscille-t-elle ?

2) Montrer que $μ = \frac{S _{m a x} - S _{m i n}}{S _{m a x} + S _{m i n}}$ , où $S_{m a x}$ et $S_{m i n}$ sont les valeurs maximale et minimale de l'enveloppe. Pourquoi cette mesure ne dépend-elle d'aucun réglage de gain ?

3) Méthode du trapèze. On passe l'oscilloscope en mode XY : la voie X reçoit $v_{1}$ , la voie Y reçoit $s$ . Montrer que la figure est un trapèze, dont les côtés verticaux ont pour longueurs $2 S_{m a x}$ et $2 S_{m i n}$ . Comment en déduit-on $μ$ ? Pourquoi cette méthode révèle-t-elle aussi une non-linéarité du modulateur ?

4) On augmente $U_{m}$ à $6, 0 V$ . Calculer $μ$ . Décrire l'oscillogramme : que devient l'enveloppe, et que subit la porteuse quand $E_{0} + U_{m} cos ω t$ change de signe ? Que devient le trapèze ?

Corrigé

La stratégie. Développer le produit ; identifier $A$ et $a$ ; puis lire l'enveloppe, dans le temps et en mode XY.

1) Le signal modulé. $s = k v_{1} v_{2} = k V_{p} (E_{0} + U_{m} cos ω t) cos ω_{p} t$ , d'où $A = k V_{p} E_{0} = 0, 10 \times 5, 0 \times 4, 0 = 2, 0 V$ , $a = k V_{p} U_{m} = 1, 0 V$ et $μ = \frac{a}{A} = \frac{U _{m}}{E _{0}} = 0, 50$ . L'enveloppe $A + a cos ω t$ oscille entre $S_{m a x} = 3, 0 V$ et $S_{m i n} = 1, 0 V$ . Le produit est la modulation ; le décalage $E_{0}$ fixe l'amplitude de la porteuse et garantit une enveloppe positive.

(La porteuse est dessinée à $25$ périodes par période de modulante au lieu de $100$ , pour rester lisible.)

2) La mesure par les extrêmes. $S_{m a x} = A + a$ et $S_{m i n} = A - a$ , donc $\frac{S _{m a x} - S _{m i n}}{S _{m a x} + S _{m i n}} = \frac{2 a}{2 A} = μ$ . Ici $\frac{3 - 1}{3 + 1} = 0, 50$ . Un gain (de l'oscilloscope, d'une sonde) multiplie $S_{m a x}$ et $S_{m i n}$ par le même facteur, qui disparaît du rapport.

3) Le trapèze. En mode XY, le spot a pour abscisse $v_{1} = E_{0} + U_{m} cos ω t$ et pour ordonnée $s = k V_{p} v_{1} cos ω_{p} t$ . À $v_{1}$ donné, comme la porteuse oscille beaucoup plus vite, l'ordonnée balaie tout le segment $[- k V_{p} v_{1}, + k V_{p} v_{1}]$ : la figure est remplie entre les deux droites $s = \pm k V_{p} v_{1}$ , pour $v_{1}$ allant de $E_{0} - U_{m}$ à $E_{0} + U_{m}$ . C'est un trapèze, de côtés verticaux $2 S_{m i n}$ (à gauche) et $2 S_{m a x}$ (à droite) ; on lit $μ = \frac{L - ℓ}{L + ℓ}$ avec $L = 2 S_{m a x} = 6, 0 V$ et $ℓ = 2 S_{m i n} = 2, 0 V$ . Les côtés obliques sont des droites parce que le modulateur est linéaire en $v_{1}$ : une courbure trahirait une non-linéarité du multiplieur.

4) La surmodulation. $U_{m} = 6, 0 V$ : $μ = \frac{6}{4} = 1, 5 > 1$ . L'« enveloppe » $A + a cos ω t = 2 + 3 cos ω t$ (en volts) devient négative quand $cos ω t < - \frac{2}{3}$ : à ces instants, $s = (n e ˊ gatif) \times cos ω_{p} t$ ; la porteuse est en opposition de phase (elle s'inverse), et l'enveloppe visible à l'oscilloscope est $∣ A + a cos ω t ∣$ , qui ne reproduit plus la modulante (elle « rebondit » sur zéro). En mode XY, $v_{1}$ va de $- 2$ à $10 V$ : la figure dépasse l'origine, où les deux droites se croisent, et le trapèze devient deux triangles opposés par le sommet. Le taux $μ ⩽ 1$ est donc la limite d'une modulation d'amplitude dont l'enveloppe porte fidèlement l'information.

Ce que l'exercice installe. Le signal AM est un produit : le multiplieur le fabrique directement, le décalage $E_{0}$ fixe la porteuse et le taux $μ = U_{m} / E_{0}$ . Le taux se mesure sans étalonnage, par les extrêmes de l'enveloppe ou par le trapèze ; la surmodulation se reconnaît à l'inversion de la porteuse.

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