Mesurer une fréquence par détection synchrone

On veut mesurer précisément la fréquence $f_{x}$ , voisine de $1 kHz$ , d'un oscillateur. On dispose d'un générateur de référence réglé sur $f_{r} = 1000, 0 Hz$ , d'un multiplieur et d'un filtre passe-bas $R C$ . On multiplie $U_{x} cos (2 π f_{x} t)$ par $U_{r} cos (2 π f_{r} t)$ , puis on filtre.

1) Calculer le produit et donner ses fréquences. Quelle condition sur la coupure du passe-bas ? Proposer $f_{c}$ .

2) La sortie $u$ est une sinusoïde de période $0, 25 s$ . Que vaut $∣ f_{x} - f_{r} ∣$ ? Quelles sont les deux valeurs possibles de $f_{x}$ ? Comment lever l'ambiguïté ?

3) On compte $10$ périodes de $u$ en $2, 5 s$ , à une demi-période près. Avec quelle incertitude connaît-on $f_{x}$ ? Comparer à une mesure directe de la période de l'oscillateur à l'oscilloscope, à $0, 1 %$ près.

La stratégie. Le multiplieur transpose : il ramène la petite différence de deux fréquences voisines en très basse fréquence, où elle se mesure facilement.

1) Le produit et le filtre. $k U_{x} U_{r} cos (2 π f_{x} t) cos (2 π f_{r} t) = \frac{k U _{x} U _{r}}{2} [cos (2 π (f_{x} - f_{r}) t) + cos (2 π (f_{x} + f_{r}) t)]$ : une composante à la différence (quelques hertz) et une à la somme (environ $2 kHz$ ). Le passe-bas doit garder la première et éliminer la seconde : $∣ f_{x} - f_{r} ∣ ≪ f_{c} ≪ f_{x} + f_{r}$ . Avec $f_{c} = 50 Hz$ , un $R C$ transmet un battement de $4 Hz$ avec un gain $0, 997$ et réduit la composante à $2 kHz$ à $2, 5 %$ .

2) Lecture. Période $0, 25 s$ : $∣ f_{x} - f_{r} ∣ = 4, 0 Hz$ , donc $f_{x} = 1004, 0$ ou $996, 0 Hz$ : la sortie $cos (2 π (f_{x} - f_{r}) t)$ est paire en $f_{x} - f_{r}$ , le signe est perdu. On augmente un peu $f_{r}$ , par exemple à $1001, 0 Hz$ : si le battement ralentit ( $3 Hz$ ), $f_{x} = 1004, 0 Hz$ ; s'il accélère ( $5 Hz$ ), $f_{x} = 996, 0 Hz$ .

3) La précision. $10$ périodes à une demi-période près sur $2, 5 s$ : $∣ f_{x} - f_{r} ∣ = 4, 0 \pm 0, 2 Hz$ , donc $f_{x}$ connu à $\pm 0, 2 Hz$ sur $1000 Hz$ , soit $2 \times 1 0^{- 4}$ en relatif, si la référence est exacte. Une mesure directe à $0, 1 %$ donne $\pm 1 Hz$ : la détection synchrone est cinq fois plus précise, et le serait davantage en comptant plus longtemps. Toute l'exactitude repose alors sur la référence : c'est le principe des fréquencemètres hétérodynes et de l'accord d'un instrument sur un diapason.

Ce que l'exercice installe. Multiplier deux sinusoïdes de fréquences voisines produit leur différence et leur somme ; un passe-bas adapté ne garde que la différence, mesurable sans peine. La détection synchrone transporte une mesure délicate (haute fréquence) en une mesure simple (basse fréquence).

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